Poziom rozszerzony
Zadania z głównej części kursu do samodzielnego przećwiczenia:
Zadanie 1. (3pkt)
Wykaż, że suma sześcianów dwóch kolejnych liczb całkowitych niepodzielnych przez \(3\) jest podzielna przez \(9\).
Zadanie 2. (3pkt)
Wykaż, że iloczyn sześciu kolejnych liczb naturalnych jest podzielny przez \(720\).
Zadanie 3. (3pkt)
Udowodnij, że liczba \(3^5\cdot 5^7\cdot 7^9\) ma \(480\) dzielników.
Zadanie 4. (3pkt)
Wiadomo, że \(x+y=3\) i \(x^2+y^2=7\) oraz \(x\ne 0\) i \(y \ne 0\). Wykaż, że \(\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{x}=18\).
Zadanie 5. (2pkt)
Liczba \(a\) przy dzieleniu przez \(11\) daje resztę \(5\), a liczba \(b\) przy dzieleniu przez \(11\) daje resztę \(6\). Wykaż, że iloczyn \(a\cdot b\) przy dzieleniu przez \(11\) daje resztę \(8\).
Zadanie 6. (2pkt)
Wykaż, że liczba \(3^{32}-2^{24}\) ma przynajmniej dwa dzielniki, które są jednocześnie większe od \(2^5\) i mniejsze od \(3^5\).
Zadanie 7. (4pkt)
Wykaż, że dla \(a\gt 1\) i \(b \gt -1\) prawdziwa jest nierówność \(a^2-ab+b^2 \gt 3(a-b-1)\).
Inne zadania do treningu:
Liczby dodatnie \(a\) i \(b\) spełniają równość \(a^2+2a=4b^2+4b\). Wykaż, że \(a=2b\).
Wykaż, że dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych \(x\) i \(y\) takich, że \(x^2+y^2=2\), prawdziwa jest nierówność \(x+y\le 2\).
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) i dla każdej liczby rzeczywistej \(y\) takich, że \(2x\gt y\), spełniona jest nierówność \[7x^3+4x^2y\ge y^3+2xy^2-x^3\]
Liczby \(a\), \(b\), \(k\) są całkowite i \(k\) jest różna od zera. Wykaż, że jeśli liczby \(a+b\) oraz \(a\cdot b\) są podzielne przez \(k\), to liczba \(a^3-b^3\) też jest podzielna przez \(k\).
Udowodnij, że dla każdej liczby całkowitej \(k\) i dla każdej liczby całkowitej \(m\) liczba \(k^3m − km^3\) jest podzielna przez \(6\).
Wykaż, że jeżeli \(a>b\ge 1\), to \(\frac{a}{2+a^3}\lt \frac{b}{2+b^3}\).
Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych \(x, y\) zachodzi nierówność \(2x^2+5y^2+10\gt6xy+4y\).
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) większej od \(2\) i dla każdej liczby rzeczywistej \(y\) prawdziwa jest nierówność \(5x^2-6xy+3y^2-2x-4\gt0\).
Niech \(a\), \(b\) będą liczbami całkowitymi, dla których zachodzi równość \(2a^2+a=3b^2+b\).
Wykaż, że jeśli \(5\) jest dzielnikiem liczby \(a-b\), to \(25\) również jest dzielnikiem liczby \(a-b\).
Niech \(a\), \(b\), \(c\) będą takimi liczbami całkowitymi, że \(a\sqrt{2}+b\sqrt{3}+c\sqrt{6}=0\).
Wykaż, że \(a=b=c=0\).
Liczby rzeczywiste \(x\) oraz \(y\) spełniają jednocześnie równanie \(x + y = 4\) i nierówność \(x^3-x^2y\le xy^2-y^3\).
Wykaż, że \(x=2\) oraz \(y=2\).
Liczby \(a\), \(b\), \(c\) są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego o różnicy równej \(7\). Jedna z tych liczb jest wielokrotnością liczby \(7\).
Wykaż, że iloczyn \(a\cdot b\cdot c\) jest podzielny przez \(294\).
Wykaż, że prawdziwa jest nierówność \(\sqrt{2^{50} + 1} + \sqrt{2^{50} - 1} \lt 2^{26}\).