Poziom rozszerzony
Liczba \((3-2\sqrt{3})^3\) jest równa
A.\( 27-24\sqrt{3} \)
B.\( 27-30\sqrt{3} \)
C.\( 135-78\sqrt{3} \)
D.\( 135-30\sqrt{3} \)
C
W rozwinięciu wyrażenia \((2\sqrt{3}x+4y)^3\) współczynnik przy iloczynie \(xy^2\) jest równy
A.\( 32\sqrt{3} \)
B.\( 48 \)
C.\( 96\sqrt{3} \)
D.\( 144 \)
C
Po przekształceniu wyrażenia algebraicznego \((x\sqrt{2}+y\sqrt{3})^4\) do postaci \(ax^4+bx^3y+cx^2y^2+dxy^3+ey^4\) współczynnik \(c\) jest równy
A.\( 6 \)
B.\( 36 \)
C.\( 8\sqrt{6} \)
D.\( 12\sqrt{6} \)
B
Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej \(n\) prawdziwe są nierówności \[2(\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1})\lt\frac{1}{\sqrt{n+1}}\quad \text{i}\quad \frac{1}{\sqrt{n+1}}\lt2(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})\]
Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych \(x\), \(y\) takich, że \(|x|\ne |y|\), prawdziwa jest nierówność \(\frac{(x-y)(x^3+y^3)}{(x+y)(x^3-y^3)}\gt \frac{1}{3}\).
Rozwiąż równanie \(3(x+\sqrt{2})=x^3+2\sqrt{2}\).
\(x=-\sqrt{2}\ \) lub \(x=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}\) lub \( x=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}\)
Suma liczb całkowitych \(x\) i \(y\) jest podzielna przez \(3\).
Wykaż, że suma sześcianów liczb \(x\) i \(y\) jest podzielna przez \(9\).