Matura rozszerzona - zbiór zadań - wykres funkcji logarytmicznej
Zbiór zadań do kursu: Matura Rozszerzona od 2023.
Zadania z głównej części kursu do samodzielnego przećwiczenia: Zadanie 1. (7pkt)
Dana jest funkcja \(f(x)=\left|\left(\frac{1}{2}\right)^{3-x}-1\right|\). Zadanie 1.1 (2pkt)
Narysuj wykres funkcji \(f(x)\). Zadanie 1.2 (3pkt)
Zbadaj ile rozwiązań ma równanie \(f(x)=m\) w zależności od parametru \(m\). Wyznacz wszystkie parametry \(m\) dla których równanie \(f(x)=m\) ma dwa rozwiązania różnych znaków. Zadanie 1.3 (2pkt)
Znajdź wszystkie parametry \(m\) dla których równanie \(f(x)=\frac{m^2-3}{m^2+4}\) nie ma rozwiązań. Zadanie 2. (2pkt)
W momencie startu eksperymentu populacja bakterii liczyła \(10\) sztuk. W ciągu każdej godziny trwania eksperymentu populacja bakterii powiększała się o \(100\%\). Oblicz w której godzinie od rozpoczęcia trwania eksperymentu populacja bakterii przekroczy \(1000\) sztuk. Zadanie 3. (3pkt)
Zbadaj liczbę rozwiązań równania \(\left|\log_{\frac{1}{2}}(x-1)+2\right|=m\) w zależności od parametru \(m\). Zadanie 4. (3pkt)
Wyznacz wszystkie parametry \(m\), dla których dziedziną funkcji \(f(x)=\log_2(mx^2+3x+2m)\) jest zbiór liczb rzeczywistych. Zadanie 5. (3pkt)
Wiadomo, że funkcja \(f(x)=\log_{3k-5}(x-k^2)\) jest rosnąca. Udowodnij, że funkcja \(h(x)=(k-1)^{k-x}\) jest malejąca. Zadanie 6. (4pkt)
Dane są funkcje \(f(x)=8^{2x}\) oraz \(g(x)=\log_4x\). Oblicz miejsca zerowe funkcji \(h(x)=\frac{f\circ g(x)}{x}-4\).Na rysunku przedstawiony jest fragment wykresu funkcji logarytmicznej \(f\) określonej wzorem \(f(x)=\log_2 (x-p)\). 
a) Podaj wartość \(p\).
b) Narysuj wykres funkcji określonej wzorem \(y = |f(x)|\).
c) Podaj wszystkie wartości parametru \(m\), dla których równanie \(|f(x)| = m\) ma dwa rozwiązania o przeciwnych znakach.
a) Podaj wartość \(p\).b) Narysuj wykres funkcji określonej wzorem \(y = |f(x)|\).
c) Podaj wszystkie wartości parametru \(m\), dla których równanie \(|f(x)| = m\) ma dwa rozwiązania o przeciwnych znakach.
Określ dziedzinę funkcji: \(f(x)=\sqrt{\text{log}_{2}(\text{log}_{\frac{1}{3}}(x+1))}\).
Skala Richtera służy do określania siły trzęsień ziemi. Siła ta opisana jest wzorem \(R=\log \frac{A}{A_0}\), gdzie \(A\) oznacza amplitudę trzęsienia wyrażoną w centymetrach, \(A_0=10^{-4}\) cm jest stałą, nazywaną amplitudą wzorcową. 5 maja 2014 roku w Tajlandii miało miejsce trzęsienie ziemi o sile \(6{,}2\) w skali Richtera. Oblicz amplitudę trzęsienia ziemi w Tajlandii i rozstrzygnij, czy jest ona większa, czy – mniejsza od \(100\) cm.
W chwili początkowej (\(t = 0\)) masa substancji jest równa \(4\) gramom. Wskutek rozpadu cząsteczek tej substancji jej masa się zmniejsza. Po każdej kolejnej dobie ubywa \(19\%\) masy, jaka była na koniec doby poprzedniej. Dla każdej liczby całkowitej \(t \ge 0\) funkcja \(m(t)\) określa masę substancji w gramach po \(t\) pełnych dobach (czas liczymy od chwili początkowej).
Wyznacz wzór funkcji \(m(t)\). Oblicz, po ilu pełnych dobach masa tej substancji będzie po raz pierwszy mniejsza od \(1{,}5\) grama. Zapisz obliczenia.
Czas \(T\) połowicznego rozpadu izotopu promieniotwórczego to czas, po którym liczba jąder danego izotopu (a zatem i masa tego izotopu) zmniejsza się o połowę – tzn. połowa jąder danego izotopu przemienia się w inne jądra. Liczba jąder \(N(t)\) izotopu promieniotwórczego pozostających w próbce po czasie \(t\), licząc od chwili \(t_0 = 0\), wyraża się zależnością wykładniczą: \[N(t)=N_0\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T}}\] gdzie \(N_0\) jest liczbą jąder izotopu promieniotwórczego w chwili początkowej \(t_0 = 0\).
Na poniższych rysunkach 1.-4. przedstawiono wykresy różnych zależności. 
Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Wykres zależności wykładniczej \(N(t)\) - opisanej we wstępie do zadania - przedstawiono na A.rysunku 1.
B.rysunku 2.
C.rysunku 3.
D.rysunku 4.
Czas połowicznego rozpadu węgla \(^{14}\text{C}\) to około \(5700\) lat. Naukowcy oszacowali za pomocą datowania radiowęglowego, że masa izotopu węgla \(^{14}\text{C}\) w pewnym organicznym znalezisku archeologicznym stanowi \(\frac{1}{16}\) masy tego izotopu, jaka utrzymywała się podczas życia organizmu. 
Oblicz, ile lat ma opisane znalezisko archeologiczne. Wynik podaj z dokładnością do stu lat.