Matura rozszerzona - zbiór zadań - przekroje prostopadłościanów i ostrosłupów

Drukuj

Poziom rozszerzony

Dany jest sześcian \(ABCDEFGH\) o krawędzi długości \(a\). Punkt \(P\) jest środkiem krawędzi \(C G\) tego sześcianu (zobacz rysunek poniżej).

\[ |P G|=|P C| \]

Oblicz odległość wierzchołka \(C\) od płaszczyzny zawierającej punkty \(B, D\) oraz \(P\). Zapisz obliczenia.

\(\frac{\sqrt{6}}{6} a\)

Dany jest graniastosłup prawidłowy sześciokątny o krawędzi podstawy równej \(4\). Graniastosłup przecięto płaszczyzną jak na rysunku. Otrzymano w ten sposób przekrój o polu równym \(48\sqrt{2}\). Oblicz objętość danego graniastosłupa.

\(96\sqrt{15}\)

Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny \(ABCDEF\), w którym każda krawędź ma tę samą długość równą \(a\) (zobacz rysunek). Wykaż, że jeżeli przekrój tego graniastosłupa płaszczyzną zawierającą krawędź \(AB\) podstawy tego graniastosłupa jest trapezem, to płaszczyzna ta jest nachylona do płaszczyzny podstawy \(ABC\) graniastosłupa pod takim kątem \(\alpha \), że \(\operatorname{tg} \alpha \gt \frac{2}{3}\sqrt{3}\).

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź podstawy ma długość \(a\). Ostrosłup ten przecięto płaszczyzną przechodzącą przez środki dwóch sąsiednich krawędzi podstawy i wierzchołek ostrosłupa. Płaszczyzna tego przekroju tworzy z płaszczyzną podstawy kąt o mierze \(\alpha\). Oblicz objętość tego ostrosłupa.

\(V=\frac{a^3\sqrt{2}\operatorname{tg} \alpha }{12}\)

Dany jest ostrosłup trójkątny \(ABCS\), w którym krawędź boczna \(AS\) jest jednocześnie wysokością ostrosłupa, a kąt między każdymi dwiema krawędziami bocznymi jest równy \(60^\circ \). Przez punkt \(D\) leżący na krawędzi \(AS\) poprowadzono płaszczyznę równoległą do płaszczyzny podstawy \(ABC\). Płaszczyzna ta przecięła krawędzie boczne \(BS\) i \(CS\) w punktach \(E\) i \(F\) (zobacz rysunek). Pole trójkąta \(ABC\) jest równe \(P_1\), a pole trójkąta \(DEF\) jest równe \(P_2\). Oblicz odległość między płaszczyznami \(ABC\) i \(DEF\).

\(\frac{\sqrt{P_1}-\sqrt{P_2}}{\sqrt[4]{2}}\)

Punkt \(S\) jest wierzchołkiem ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, a punkty \(E\), \(F\) są odpowiednio środkami krawędzi \(AB\) i \(CD\) jego podstawy. Krawędź podstawy i wysokość tego ostrosłupa mają taką samą długość równą \(1\). Płaszczyzna przechodząca przez punkty \(E\) i \(F\) przecina krawędzie boczne odpowiednio w punktach \(G\) oraz \(H\) (zobacz rysunek). Oblicz pole otrzymanego przekroju, wiedząc, że jest ono dwa razy większe od pola czworokąta \(BCGH\).

\(\frac{9\sqrt{5}}{50}\)

Krawędź podstawy graniastosłupa prawidłowego trójkątnego \(ABCDEF\) (zobacz rysunek obok) jest równa \(6\). Punkt \(K\) dzieli krawędź boczną \(CF\) w stosunku \(2:3\). Pole przekroju tego graniastosłupa płaszczyzną przechodzącą przez krawędź podstawy \(AB\) i punkt \(K\) jest równe \(15\sqrt{3}\). Oblicz objętość tego graniastosłupa.

\(V=180\) lub \(V=270\)

Graniastosłup prawidłowy czworokątny o krawędzi podstawy \(a\) i dwa razy krótszej wysokości przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną podstawy i nachyloną do płaszczyzny podstawy pod kątem \(60^\circ\). Zaznacz ten kąt na rysunku oraz oblicz pole otrzymanego przekroju, wynik przedstaw w najprostszej postaci.

\(P=\frac{2\sqrt{6}-1}{6}a^2\)

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym \(A B C D E\) punkt \(O\) jest środkiem symetrii podstawy ostrosłupa. Stosunek obwodu podstawy \(A B C D\) do sumy długości wszystkich krawędzi ostrosłupa jest równy \(1: 5\). Przez przekątną \(A C\) podstawy i środek \(S\) krawędzi bocznej \(B E\) poprowadzono płaszczyznę.

Oblicz stosunek pola otrzymanego przekroju do pola podstawy ostrosłupa oraz miare kąta BSO (w zaokrągleniu do \(1^{\circ}\) ). Zapisz obliczenia.

Wskazówka.
Skorzystaj z tablicy wartości funkcji trygonometrycznych (Wybrane wzory matematyczne, strona 34).

\(\frac{P_{A C S}}{P_{A B C D}}=\frac{\frac{1}{2} \cdot a \sqrt{2} \cdot 2 a}{a^{2}}=\sqrt{2}\)
\(\cos \alpha=\frac{15}{16}\), więc \(\alpha \approx 20^{\circ}\).