Dwa boki trójkąta o polu równym \(20\) zawierają się w prostych prostopadłych \(k:ax+by-4a=0\) oraz \(l: (2b-1)x-ay-8b+4=0\). Trzeci bok tego trójkąta zawiera się w osi \(Oy\). Wyznacz wszystkie dodatnie wartości parametrów \(a\) i \(b\), dla których spełnione są warunki zadania.
\(b=1\), \(a=2\lor a=\frac{1}{2}\)
Dany jest trójkąt prostokątny \(KLM\) o kącie prostym przy wierzchołku \(K\), ograniczony prostymi \(KL: 2x+3y+5=0\), \(LM: 7x+4y-2=0\) oraz prostą \(KM\). Wyznacz równanie prostej \(KM\), wiedząc, że pole trójkąta \(KLM\) jest równe \(13\).
\(y=\frac{3}{2}x+7\) lub \(y=\frac{3}{2}x-19\)
Punkt \(A = (−3, 2)\) jest wierzchołkiem trójkąta równoramiennego \(ABC\), w którym \(|AC| = |BC|\). Pole tego trójkąta jest równe \(15\). Bok \(BC\) zawarty jest w prostej o równaniu \(y = x − 1\). Oblicz współrzędne wierzchołków \(B\) i \(C\) tego trójkąta.
Są cztery możliwości:
\(C=(4,3), B=(9,8)\)
lub
\(C=(4,3), B=(-1,-2)\)
lub
\(C=(-4,-5), B=(1,0)\)
lub
\(C=(-4,-5), B=(-9,-10)\)
W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) proste o równaniach \(2 x+y-4 m-4=0\) oraz \(x-3 y+5 m+5=0\) przecinają się w punkcie \(P\) o współrzędnych \(\left(x_{P}, y_{P}\right)\).
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których współrzędne punktu \(P\) spełniają warunki: \[ x_{P}>0, y_{P}>0, y_{P} \geq x_{P}^{2} \quad \text { oraz } \quad 2<-\frac{8}{\left(y_{P}\right)^{2}}+\frac{8}{x_{P}} \] Zapisz obliczenia.
\(m \in(1-\sqrt{3}, 1]\)
W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) trapez \(A B C D\) jest wpisany w okrąg o środku w punkcie \(S=(19,-11)\) i promieniu \(17 \sqrt{2}\). Wierzchołek \(A\) trapezu ma obie współrzędne ujemne, a odcinek \(A B\) jest dłuższą z podstaw tego trapezu. Przekątna \(A C\) trapezu \(A B C D\) jest zawarta w prostej o równaniu \(y=x\).
Oblicz sinus kąta \(A B C\). Zapisz obliczenia.
\(\frac{8}{17}\)