Matura rozszerzona - zbiór zadań - podobieństwo figur

Dany jest trójkąt równoramienny \(ABC\), w którym \(|AC|=|BC|=6\), a punkt \(D\) jest środkiem podstawy \(AB\). Okrąg o środku \(D\) jest styczny do prostej \(AC\) w punkcie \(M\). Punkt \(K\) leży na boku \(AC\), punkt \(L\) leży na boku \(BC\), odcinek \(KL\) jest styczny do rozważanego okręgu oraz \(|KC|=|LC|=2\) (zobacz rysunek). Wykaż, że \(\frac{|AM|}{|MC|}=\frac{4}{5}\).

Z wierzchołków kwadratu poprowadzono do odpowiednich boków proste pod takim samym kątem \(\alpha \), mniejszym od \(45^\circ \), (zobacz rysunek). Proste te wyznaczają w szczególności trójkąt (zacieniowany) o polu \(9\) i czworokąt (zacieniowany) o polu \(7\). Wyznacz pole kwadratu.

Na podstawie \(AB\) trapezu \(ABCD\) (\(|AB|\gt |CD|\)) wyznaczono taki punkt \(E\), że czworokąt \(AECD\) jest równoległobokiem. Przekątna \(BD\) przecina odcinki \(CA\) i \(CE\) odpowiednio w punktach \(F\) i \(G\). Odcinki \(DG\) i \(BF\) są równej długości. Uzasadnij, że \(\frac{|AB|}{|CD|}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\).

Dany jest prostokąt \(ABCD\). Okrąg wpisany w trójkąt \(BCD\) jest styczny do przekątnej \(BD\) w punkcie \(N\). Okrąg wpisany w trójkąt \(ABD\) jest styczny do boku \(AD\) w punkcie \(M\), a środek \(S\) tego okręgu leży na odcinku \(MN\), jak na rysunku. Wykaż, że \(|MN|=|AD|\).

Dany jest trójkąt równoboczny \(ABC\). Na bokach \(AB\) i \(AC\) wybrano punkty – odpowiednio – \(D\) i \(E\) takie, że \(|BD| = |AE| = \frac{1}{3}|AB|\). Odcinki \(CD\) i \(BE\) przecinają się w punkcie \(P\) (zobacz rysunek). Wykaż, że pole trójkąta \(DBP\) jest \(21\) razy mniejsze od pola trójkąta \(ABC\).

W trapezie \(ABCD\) przekątna \(BD\) jest dwusieczną kąta \(CBA\) i przecina przekątną \(AC\) w punkcie \(K\), takim, że \(|CK|:|KA| = 1 : 3\). Pole tego trapezu jest równe \(100(\sqrt{6}-\sqrt{2})\), \(\sin\sphericalangle BAD=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\), \(|AD| = 10\) oraz kąt \(BAD\) jest ostry.

Czworokąt wypukły \(ABCD\) jest wpisany w okrąg o promieniu \(4\). Kąty \(BAD\) i \(BCD\) są proste (zobacz rysunek). Przekątne \(AC\) i \(BD\) tego czworokąta przecinają się w punkcie \(E\) tak, że \(|BE| = 3\cdot |DE|\) oraz \(|BD| = 2\cdot |AE|\).

Dane są punkty: \(A=(-1,-2), B=(1,4), C=(-2,-10), D=(2,2)\). Wykaż, że odcinki \(AB\) i \(CD\) są równoległe. Wyznacz środek jednokładności \(S\) i dodatnią skalę \(k\) tak, aby obrazem odcinka \(AB\) w tej jednokładności był odcinek \(CD\).

Prosta o równaniu \(x+y-10=0\) przecina okrąg o równaniu \(x^2+y^2-8x-6y+8=0\) w punktach \(K\) i \(L\). Punkt \(S\) jest środkiem cięciwy \(KL\). Wyznacz równanie obrazu tego okręgu w jednokładności o środku \(S\) i skali \(k = −3\).

Punkt \(D\) leży wewnątrz trójkąta \(ABC\). Prosta przechodząca przez punkt \(D\) i równoległa do boku \(AC\) przecina bok \(AB\) w punkcie \(K\), a bok \(BC\) w punkcie \(L\). Prosta przechodząca przez punkt \(D\) i równoległa do boku \(BC\) przecina bok \(AB\) w punkcie \(M\), a bok \(AC\) w punkcie \(N\) (zobacz rysunek). Stosunek obwodu trójkąta \(KMD\) do obwodu trójkąta \(KBL\) jest równy \(5 : 7\), a stosunek obwodu trójkąta \(KMD\) do obwodu trójkąta \(AMN\) jest równy \(5 : 8\). Pole czworokąta \(DLCN\) jest równe \(15\).