Poziom rozszerzony
Zadania z głównej części kursu do samodzielnego przećwiczenia:
Zadanie 1.
Oblicz:
\(\log_{\frac{1}{2}}5+2\log_{\frac{1}{2}}\sqrt{\frac{4}{5}}-\log_3\sqrt[7]{9}=\)
\((\sqrt{2})^{\Large{\log_2\sqrt{3}}}=\)
\(\log_79\cdot \log_9\sqrt{7}=\)
\(\log_ab\cdot \log_bc=\)
\(\log_23\cdot \log_34\cdot \log_45\cdot \log_56\cdot \log_67\cdot \log_78=\)
\(\log_349\cdot \log_79=\)
\(\log_\sqrt[7]{3}\sqrt{5}\cdot \log_{125}\sqrt[4]{27}=\)
\(\log_\sqrt{2}5+\log_827=\)
\(8^{\Large{\frac{1}{\log_38}}}-(\sqrt{2})^{\Large{\frac{1}{\log_92}\Large}}=\)
\((\sqrt[4]{3})^{\Large{\log_34\cdot \log_29\cdot \log_\sqrt{3}5}}=\)
Zadanie 2. (2pkt)
Wykaż, że \(\log_{17}19:\log_{18}19=\log_{16}18\cdot \log_{17}16\).
Zadanie 3. (3pkt)
Dane są liczby \(a=\log_32\) oraz \(b=\log_{2^{2024}}3^{1012}+\log_{\frac{1}{3}}54\). Wyraź liczbę \(b\) za pomocą liczby \(a\).
Zadanie 4. (3pkt)
Wiadomo, że \(\frac{1}{\log_{p-q}2}=3\) oraz \((\log_{pq}3)^{-1}=2\). Udowodnij, że liczba \(\sqrt{p^2-1+q^2}\) jest wymierna.
Zadanie 5. (4pkt)
Wiadomo, że \(\log_am=\sqrt{2}\). Oblicz \(3\log_{\sqrt{m}}am^2-\log_{am}\frac{a^2}{m}\).
Zadanie 6. (4pkt)
Wykaż, że dla \(a,b,c \gt 1\) oraz \(n\in \mathbb{N} \) liczba \(\frac{\log_ab^3\cdot \log_{b^2}c}{\log_{\sqrt[3]{a^n}}\sqrt[4]{c}}\) jest parzysta.
Inne zadania do treningu:
Dane są liczby \[a=4^{\log_245}\ \ \ \text{oraz}\ \ \ b=\frac{\log_32023}{\log_92023}\]
Oblicz \(a-b\).
\(2023\)
Dane są liczby \(a=\log_35\) oraz \(b=\log_37\).
Wyraź \(\log_{15}63\) za pomocą liczb \(a\) oraz \(b\). Zapisz obliczenia.
\(\frac{b+2}{a+1}\)
Niech \(\log_2 18=c\).
Wykaż, że \(\log_3 4 =\frac{4}{c-1}\)
Oblicz wartość wyrażenia \[\log_83^{3\log_32-\log_{27}8-\log_94}\] Zapisz obliczenia.
\(\frac{1}{3}\)
Oblicz najpierw różnicę logarytmów w wykładniku potęgi. Aby wykonać odejmowanie przekształć logarytmy do podstawy równej \(3\).
Wykaż, że jeżeli \(\log _{5} 4=a\) oraz \(\log _{4} 3=b\), to \(\log _{12} 80=\frac{2 a+1}{a \cdot(1+b)}\).
Dane są liczby \(a=\log_{25}10\cdot \log\sqrt{5}\) oraz \(b=\frac{\log_\sqrt{5}7}{\log_\sqrt{5}16}\).
Wykaż, że: \[\frac{\sqrt{7}}{8}\lt a^b\lt\frac{\sqrt{7}}{6}\]