Poziom rozszerzony
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej dodatniej \(a\) prawdziwa jest nierówność \[a^2+\frac{16}{a}\ge12\]
Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=\frac{3x}{x+1}\) dla każdego \(x \in(-1,+\infty)\).
Wykaż, że \(f\) jest funkcją rosnącą.
Wyznacz największą i najmniejszą wartość funkcji \(f(x)=\frac{x^2+8}{x+1}\) w przedziale \(\langle0,3 \rangle \).
\(4\) i \(8\)
Wielomian \(f\) jest dany wzorem \(f(x)=3x^4-4kx^3+6x^2-12kx\) z parametrem rzeczywistym \(k\). Wyznacz wszystkie wartości \(k\), dla których funkcja \(f\) jest rosnąca w przedziale \(\langle 2;+\infty )\) i nie jest rosnąca w żadnym przedziale postaci \(\langle a;+\infty )\) dla \(a\lt 2\).
\(k=2\)
Wykaż, że równanie \(2x^3-3x^2-5=0\) ma w przedziale \((2,3)\) dokładnie jedno rozwiązanie.
Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=x^4-2x^3+x^2-1\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x \in [-1, 3]\).
Wyznacz zbiór wartości funkcji \(f\).
\([-1,35]\)
Dana jest funkcja \(f\) określona wzorem \(f(x)=\frac{2x}{x^2+4}\). Wyznacz zbiór wartości tej funkcji.
\(ZW=\left\langle -\frac{1}{2},\frac{1}{2} \right\rangle \)
Funkcja wymierna \(f\) jest dana wzorem \(f(x)=\frac{x+1}{x^2+2x+2}\). Wyznacz wartość najmniejszą i wartość największą, jakie ta funkcja przyjmuje dla argumentów z przedziału \(\langle -3,1 \rangle \)
\(-\frac{1}{2}\), \(\frac{1}{2}\)
Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=x^{4}+0,5 \cdot(2 x+1)^{4}\) dla każdego \(x \in \mathbb{R}\).
Oblicz najmniejszą wartość tej funkcji. Zapisz obliczenia.
Najmniejsza wartość funkcji \(f\) jest równa \(\frac{1}{54}\).