Matura rozszerzona - zbiór zadań - czworokąty wpisane i opisane na okręgu

Rysunek przedstawia trapez równoramienny \(ABCD\) opisany na okręgu o środku \(S\) i promieniu \(r=\frac{\sqrt{91}}{2}\). Dolna podstawa trapezu jest o \(6\) dłuższa od górnej podstawy. Oblicz obwód trapezu \(ABCD\).

Dwusieczne czworokąta \(ABCD\) wpisanego w okrąg przecinają się w czterech różnych punktach: \(P\), \(Q\), \(R\), \(S\) (zobacz rysunek). Wykaż, że na czworokącie \(PQRS\) można opisać okrąg.

Okrąg \(o_1\) jest opisany na czworokącie \(ABCD\), natomiast \(o_2\) jest opisany na czworokącie \(AFEC\) (zobacz rysunek). Punkty \(A\), \(B\), \(E\) są współliniowe i zachodzi równość \(|\sphericalangle BFE|=|\sphericalangle CDB|\). Udowodnij, że punkty \(F\), \(B\), \(C\) są współliniowe.

Trapez prostokątny jest opisany na okręgu o promieniu \(5\). Kąt ostry trapezu ma miarę \(45^\circ\). Oblicz długości odcinków, na które punkt styczności okręgu podzielił ramię pochyłe trapezu.

Czworokąt \(ABCD\), w którym \(|BC| = 4\) i \(|CD| = 5\), jest opisany na okręgu. Przekątna \(AC\) tego czworokąta tworzy z bokiem \(BC\) kąt o mierze \(60^\circ\), natomiast z bokiem \(AB\) - kąt ostry, którego sinus jest równy \(\frac{1}{4}\).

W trapez prostokątny \(ABCD\) wpisano okrąg o środku \(O\), który w punkcie \(P\) jest styczny do dłuższego ramienia \(BC\) tego trapezu (zobacz rysunek). Wykaż, że jeżeli \(|BP|=p\) i \(|CP|=q\), to obwód trapezu jest równy \(2(\sqrt{p}+\sqrt{q})^2\).

Czworokąt \(ABCD\) wpisany w okrąg \(S\) spełnia następujące warunki: \(|BD|=|DC|\), \(|AB|=4\), \(|AC|=6\), \(|AD|=5\). Oblicz długość promienia okręgu \(S\).