Poziom rozszerzony
Liczby \(a\), \(b\), \(c\) są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego o różnicy równej \(7\). Jedna z tych liczb jest wielokrotnością liczby \(7\).
Wykaż, że iloczyn \(a\cdot b\cdot c\) jest podzielny przez \(294\).
W nieskończonym malejącym ciągu geometrycznym \(\left(a_{n}\right)\), określonym dla \(n \geq 1\), jest spełniony warunek \[ \frac{a_{5}+a_{3}}{a_{3}}=\frac{29}{25} \] Suma wszystkich wyrazów tego ciągu o numerach parzystych jest równa \(6\).
Wyznacz wzór ogólny na \(\boldsymbol{n}\)-ty wyraz ciągu \(\left(a_{n}\right)\). Zapisz obliczenia.
\(a_{n}=\frac{63}{5} \cdot\left(\frac{2}{5}\right)^{n-1}\)
Ciąg geometryczny \(a_n\) spełnia następujące równanie rekurencyjne: \(a_1=7\), \(a_{n+2}=\frac{1}{6}a_{n+1}+\frac{1}{3}a_n\) dla \(n\in \{1,2,3,...\}\). Wyznacz sumę wszystkich wyrazów ciągu \((a_n)\).
\(21\) lub \(\frac{14}{3}\)
Wyrazy ciągu geometrycznego (\(a_n\)), określonego dla \(n \ge 1\), spełniają układ równań \[\begin{cases} a_3 + a_6 = -84 \\ a_4 + a_7 = 168 \end{cases} \] Wyznacz liczbę \(n\) początkowych wyrazów tego ciągu, których suma \(S_n\) jest równa \(32769\).
\(n = 15\)
Trzywyrazowy ciąg \((x, y, z)\) jest geometryczny i rosnący. Suma wyrazów tego ciągu jest równa \(105\). Liczby \(x, y\) oraz \(z\) są - odpowiednio - pierwszym, drugim oraz szóstym wyrazem ciągu arytmetycznego \(\left(a_{n}\right)\), określonego dla każdej liczby naturalnej \(n \geq 1\).
Oblicz \(x, y\) oraz z. Zapisz obliczenia.
\(x=5\), \(y=20\), \(z=80\)
Nieskończony ciąg geometryczny \((a_{n})\) jest określony dla każdej liczby naturalnej \(n \geq 1\). Suma wszystkich wyrazów ciągu \((a_{n})\) o numerach nieparzystych jest równa \(16\), tj. \[ a_{1}+a_{3}+a_{5}+\ldots=16 \] Ponadto \(a_{1}+a_{3}=\frac{5}{2} \cdot a_{2}\).
Wyznacz wzór ogólny na \(n\)-ty wyraz ciągu \((a_{n})\). Zapisz obliczenia.
\(a_n=12\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\)
Trzeci i piąty wyraz malejącego ciągu arytmetycznego \((a_{n})\), określonego dla każdej liczby naturalnej \(n \geq 1\), spełniają warunek \(a_{3}+a_{5}=10\).
Trzywyrazowy ciąg ( \(2 a_{1}+4, a_{4}-1,-\frac{1}{8} a_{7}\) ) jest geometryczny.
Oblicz wyrazy tego ciągu geometrycznego. Zapisz obliczenia.
\(\left(32,4,\frac{1}{2}\right)\)
Ciąg \((a, b, c)\) jest trzywyrazowym ciągiem geometrycznym o wyrazach dodatnich. Ciąg \((2a, 2b, c + 1)\) jest trzywyrazowym ciągiem arytmetycznym. Ponadto spełniony jest warunek \(c - b = 6\).
Oblicz \(a\), \(b\) oraz \(c\). Zapisz obliczenia.
\(a = 1\), \(b = 3\), \(c = 9\)
Dany jest rosnący ciąg arytmetyczny \((a_n)\) określony dla każdej liczby naturalnej \(n \ge 1\). Ciąg \((a_1\cdot a_2,\ a_2\cdot a_3,\ a_3\cdot a_1, )\) jest geometryczny i ma wyrazy różne od zera.
Oblicz iloraz tego ciągu geometrycznego. Zapisz obliczenia.
\(q=-2\)
W trzywyrazowym ciągu geometrycznym \((a_1, a_2, a_3)\), spełniona jest równość \(a_1+a_2+a_3=\frac{21}{4}\). Wyrazy \(a_1, a_2, a_3\) są – odpowiednio – czwartym, drugim i pierwszym wyrazem rosnącego ciągu arytmetycznego. Oblicz \(a_1\).
Liczbę \(272\) przedstaw w postaci sumy czterech całkowitych składników tworzących ciąg geometryczny i takich, że trzeci składnik jest o \(48\) większy od pierwszego.
\(272=27+45+75+125\)
Ciąg \(\left(a_{n}\right)\), określony dla każdej liczby naturalnej \(n \geq 1\), jest geometryczny i zbieżny. W tym ciągu \(a_{1}+a_{3}=20\) i \(a_{1}^{2}+a_{3}^{2}=328\).
Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego ciągu. Rozważ wszystkie przypadki. Zapisz obliczenia.
Ciąg \(\left(a_{n}\right)\), określony dla każdej liczby naturalnej \(n \geq 1\), jest arytmetyczny i rosnący. W tym ciągu \(a_{6}=15\) oraz \(a_{15}=a_{3} \cdot\left(a_{8}-6\right)\).
Ciąg \(\left(b_{n}\right)\), określony dla każdej liczby naturalnej \(n \geq 1\), jest geometryczny i \(b_{1}=a_{11}\) oraz \(b_{2}=a_{6}\).
Oblicz sumę wszystkich wyrazów ciągu ( \(b_{n}\) ). Zapisz obliczenia.
\(q=\frac{3}{7}\) i \(S=\frac{245}{4}\)
Trzywyrazowy ciąg \((a, b, c)\) o wyrazach dodatnich jest arytmetyczny, natomiast ciąg \(\Biggl(\frac{1}{a}, \frac{2}{3b}, \frac{1}{2a + 2b + c}\Biggl)\) jest geometryczny. Oblicz iloraz ciągu geometrycznego.
\(q = \frac{1}{3}\)
Liczby \(a, b, c\) są - odpowiednio - pierwszym drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Suma tych liczb jest równa \(27\). Ciąg \((a-2,b,2c+1)\) jest geometryczny. Wyznacz liczby \(a, b, c\).