Liczby \(a\), \(b\), \(c\) są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego o różnicy równej \(7\). Jedna z tych liczb jest wielokrotnością liczby \(7\).
Wykaż, że iloczyn \(a\cdot b\cdot c\) jest podzielny przez \(294\).
Ciąg \((a_n)\), określony dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\), jest geometryczny i ma wszystkie wyrazy dodatnie. Ponadto \(a_1 = 675\) i \(a_{22} =\frac{5}{4}a_{23}+\frac{1}{5}a_{21}\).
Ciąg \((b_n)\), określony dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\), jest arytmetyczny.
Suma wszystkich wyrazów ciągu \((a_n)\) jest równa sumie dwudziestu pięciu początkowych kolejnych wyrazów ciągu \((b_n)\). Ponadto \(a_3=b_4\). Oblicz \(b_1\).
\(129\)
Ciąg \((a, b, c)\) jest trzywyrazowym ciągiem geometrycznym o wyrazach dodatnich. Ciąg \((2a, 2b, c + 1)\) jest trzywyrazowym ciągiem arytmetycznym. Ponadto spełniony jest warunek \(c - b = 6\).
Oblicz \(a\), \(b\) oraz \(c\). Zapisz obliczenia.
\(a = 1\), \(b = 3\), \(c = 9\)
Wyrazy ciągu geometrycznego (\(a_n\)), określonego dla \(n \ge 1\), spełniają układ równań \[\begin{cases} a_3 + a_6 = -84 \\ a_4 + a_7 = 168 \end{cases} \] Wyznacz liczbę \(n\) początkowych wyrazów tego ciągu, których suma \(S_n\) jest równa \(32769\).
\(n = 15\)
Dany jest rosnący ciąg arytmetyczny \((a_n)\) określony dla każdej liczby naturalnej \(n \ge 1\). Ciąg \((a_1\cdot a_2,\ a_2\cdot a_3,\ a_3\cdot a_1, )\) jest geometryczny i ma wyrazy różne od zera.
Oblicz iloraz tego ciągu geometrycznego. Zapisz obliczenia.
\(q=-2\)
W trzywyrazowym ciągu geometrycznym \((a_1, a_2, a_3)\), spełniona jest równość \(a_1+a_2+a_3=\frac{21}{4}\). Wyrazy \(a_1, a_2, a_3\) są – odpowiednio – czwartym, drugim i pierwszym wyrazem rosnącego ciągu arytmetycznego. Oblicz \(a_1\).
Liczbę \(272\) przedstaw w postaci sumy czterech całkowitych składników tworzących ciąg geometryczny i takich, że trzeci składnik jest o \(48\) większy od pierwszego.
\(272=27+45+75+125\)
Trzywyrazowy ciąg \((a, b, c)\) o wyrazach dodatnich jest arytmetyczny, natomiast ciąg \(\Biggl(\frac{1}{a}, \frac{2}{3b}, \frac{1}{2a + 2b + c}\Biggl)\) jest geometryczny. Oblicz iloraz ciągu geometrycznego.
\(q = \frac{1}{3}\)
Liczby \(a, b, c\) są - odpowiednio - pierwszym drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Suma tych liczb jest równa \(27\). Ciąg \((a-2,b,2c+1)\) jest geometryczny. Wyznacz liczby \(a, b, c\).
Ciąg geometryczny \( (a_n) \) ma \( 100 \) wyrazów i są one liczbami dodatnimi. Suma wszystkich wyrazów o numerach nieparzystych jest sto razy większa od sumy wszystkich wyrazów o numerach parzystych oraz \( \log a_1+\log a_2+\log a_3+...+\log a_{100}=100 \). Oblicz \( a_1 \).
\(a_1=10^{100}\)