Zbiór zadań - zadania optymalizacyjne
Poziom podstawowy
Zakład stolarski produkuje krzesła, które sprzedaje po \(196\) złotych za sztukę. Właściciel, na podstawie analizy rzeczywistych wpływów i wydatków, stwierdził, że:
- przychód \(P\) (w złotych) ze sprzedaży \(x\) krzeseł można opisać funkcją \(P(x) = 196x\)
- koszt \(K\) (w złotych) produkcji \(x\) krzeseł dziennie można opisać funkcją \[K(x) = 4x^2 + 4x + 240\]
Wskazówka: przyjmij, że zysk jest różnicą przychodu i kosztów.
Rozważamy wszystkie równoległoboki o obwodzie równym \(200\) i kącie ostrym o mierze \(30^\circ\).
Podaj wzór i dziedzinę funkcji opisującej zależność pola takiego równoległoboku od długości \(x\) boku równoległoboku.
Oblicz wymiary tego z rozważanych równoległoboków, który ma największe pole, i oblicz to największe pole.
Zapisz obliczenia
Oblicz wymiary tego z rozważanych równoległoboków, który ma największe pole, i oblicz to największe pole.
Zapisz obliczenia
Działka ma kształt trapezu. Podstawy \(AB\) i \(CD\) tego trapezu mają długości \(|AB| = 400\) m oraz \(|CD| = 100\) m. Wysokość trapezu jest równa \(75\) m, a jego kąty \(DAB\) i \(ABC\) są ostre.
Z działki postanowiono wydzielić plac w kształcie prostokąta z przeznaczeniem na parking. Dwa z wierzchołków tego prostokąta mają leżeć na podstawie \(AB\) tego trapezu, a dwa pozostałe - \(E\) oraz \(F\) - na ramionach \(AD\) i \(BC\) trapezu (zobacz rysunek).
Aby powiązać ze sobą wymiary prostokąta, skorzystaj z tego, że pole trapezu \(ABCD\) jest sumą pól trapezów \(ABFE\) oraz \(EFCD\): \[P_{ABCD}=P_{ABFE}+P_{EFCD}\]
Z działki postanowiono wydzielić plac w kształcie prostokąta z przeznaczeniem na parking. Dwa z wierzchołków tego prostokąta mają leżeć na podstawie \(AB\) tego trapezu, a dwa pozostałe - \(E\) oraz \(F\) - na ramionach \(AD\) i \(BC\) trapezu (zobacz rysunek).
Wyznacz długości boków prostokąta, dla których powierzchnia wydzielonego placu będzie największa. Wyznacz tę największą powierzchnię. Zapisz obliczenia.
Wskazówka:Aby powiązać ze sobą wymiary prostokąta, skorzystaj z tego, że pole trapezu \(ABCD\) jest sumą pól trapezów \(ABFE\) oraz \(EFCD\): \[P_{ABCD}=P_{ABFE}+P_{EFCD}\]