Poziom podstawowy
Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej \(n\) liczba \(20n^2+30n+7\) przy dzieleniu przez \(5\) daje resztę \(2\).
Wykaż, że liczba \(7^{2023}+7^{2024}+7^{2025}\) jest podzielna przez \(57\).
Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej nieparzystej \(n\) liczba \(n^2+2023\) jest podzielna przez \(8\).
Udowodnij, że suma trzech kolejnych liczb parzystych jest podzielna przez \(6\).
Wykaż, że suma czterech kolejnych liczb niepodzielnych przez \(5\) jest podzielna przez \(5\).
Wykaż, że jeżeli liczba przy dzieleniu przez \(11\) daje resztę \(5\), to kwadrat tej liczby przy dzieleniu przez 11 daje resztę \(3\).
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(a\) i każdej liczby rzeczywistej \(b\) takich, że \(b\ne a\), spełniona jest nierówność \[\frac{a^2+b^2}{2}\gt\left(\frac{a+b}{2}\right)^2\]
Wykaż, że dla dowolnych różnych liczb rzeczywistych \(a\) i \(b\) prawdziwa jest nierówność \[a(a + b) + b^2 \gt 3ab\]
Wykaż, że dla każdych trzech dodatnich liczb \(a, b\) i \(c\) takich, że \(a\lt b\), spełniona jest nierówność \[\frac{a}{b}\lt \frac{a+c}{b+c}\]
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(a\) i każdej liczby rzeczywistej \(b\) spełniona jest nierówność \(b(5b-4a)+a^2\ge0\).
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(a\) różnej od \(0\) i każdej liczby rzeczywistej \(b\) różnej od \(0\) spełniona jest nierówność \[2a^2-4ab+5b^2\gt0\]