Poziom podstawowy
Wykaż, że liczba \(2^{100}+4^{49}+16^{24}\) jest podzielna przez \(21\).
Zamień wszystkie potęgi na potęgi o podstawie \(2\), a następnie wyciągnij wspólny czynnik przed nawias.
Wykaż, że liczba \(7^{2023}+7^{2024}+7^{2025}\) jest podzielna przez \(57\).
Udowodnij, że liczba \(3^{45}+9^{22}+27^{14}\) jest podzielna przez \(37\).
Wykaż, że suma sześciu kolejnych liczb naturalnych jest nieparzysta.
Niech \(n\) będzie dowolną liczbą naturalną. Zapiszmy sześć kolejnych liczb naturalnych: \[ n, n+1, n+2, n+3, n+4, n+5 \] Wówczas ich suma wynosi:
\(S=n+(n+1)+(n+2)+(n+3)+(n+4)+(n+5)\) \(=6n+(1+2+3+4+5)\) \(=6n+15\) \(=6n+14+1\) \(=2(3n+7)+1\)
Wyrażenie \(3n+7\) jest liczbą całkowitą.
Zatem liczba \(2(3n+7)+1\) jest nieparzysta (przy dzieleniu przez \(2\) daje resztę \(1\)), co kończy dowód.
Udowodnij, że suma trzech kolejnych liczb parzystych jest podzielna przez \(6\).
Wykaż, że suma czterech kolejnych liczb niepodzielnych przez \(5\) jest podzielna przez \(5\).
Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej nieparzystej \(n\) liczba \(n^2+2023\) jest podzielna przez \(8\).
Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej \(n\) liczba \(20n^2+30n+7\) przy dzieleniu przez \(5\) daje resztę \(2\).
Udowodnij, że dla każdej liczby całkowitej \(n\) liczba \((3 n+5)^2+11 n^2-18\) przy dzieleniu przez \(5\) daje resztę \(2\).
Wykaż, że jeżeli liczba przy dzieleniu przez \(11\) daje resztę \(5\), to kwadrat tej liczby przy dzieleniu przez 11 daje resztę \(3\).
Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej \(n \geq 1\) liczba \(n\left(n^2+3 n+2\right)\) jest podzielna przez \(6\).
Rozważmy dwie
kolejne liczby naturalne \(a\) i \(b\) takie, że \(a\lt b\) oraz obie są
niepodzielne przez \(3\).
Udowodnij, że liczba \(a^2+11 a b+b^2\) jest podzielna przez \(9\).
Wykaż, że dla \(a, b \in \mathbb{R} \backslash\{0\}\) zachodzi nierówność: \[ \frac{1}{a^2}-\frac{2}{a b}+\frac{1}{b^2} \geq 0 \]
Zauważmy, że wyrażenie po lewej stronie nierówności można zapisać jako kwadrat różnicy: \[ \left(\frac{1}{a}\right)^2-2\cdot \frac{1}{a}\cdot \frac{1}{b}+\left(\frac{1}{b}\right)^2=\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right)^2 \] Ponieważ kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny, to: \[ \left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right)^2 \geq 0 \] Zatem nierówność \(\frac{1}{a^2}-\frac{2}{a b}+\frac{1}{b^2} \geq 0\) jest spełniona dla wszystkich \(a, b \in \mathbb{R} \backslash\{0\}\), co kończy dowód.
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(a\) i każdej liczby rzeczywistej \(b\) spełniona jest nierówność \(b(5b-4a)+a^2\ge0\).
Wykaż, że dla dowolnych różnych liczb rzeczywistych \(a\) i \(b\) prawdziwa jest nierówność \[a(a + b) + b^2 \gt 3ab\]
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(a\) różnej od \(0\) i każdej liczby rzeczywistej \(b\) różnej od \(0\) spełniona jest nierówność \[2a^2-4ab+5b^2\gt0\]
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(a\) i każdej liczby rzeczywistej \(b\) takich, że \(b\ne a\), spełniona jest nierówność \[\frac{a^2+b^2}{2}\gt\left(\frac{a+b}{2}\right)^2\]
Wykaż, że dla każdych trzech dodatnich liczb \(a, b\) i \(c\) takich, że \(a\lt b\), spełniona jest nierówność \[\frac{a}{b}\lt \frac{a+c}{b+c}\]