Zbiór zadań - równoległoboki i trapezy

Przekątne równoległoboku mają długości \(4\) i \(8\), a kąt między tymi przekątnymi ma miarę \(30^\circ \). Pole tego równoległoboku jest równe

W równoległoboku \(ABCD\), przedstawionym na rysunku, kąt \(\alpha \) ma miarę \(70^\circ\). Wtedy kąt \(\beta\) ma miarę

Różnica miar dwóch sąsiednich kątów wewnętrznych równoległoboku jest równa \(80^\circ\). Kąt rozwarty tego równoległoboku ma miarę

Dany jest romb o boku długości \(4\) i kącie rozwartym \(150^\circ\). Pole tego rombu jest równe

W romb o boku \(2\sqrt{3}\) i kącie \(60^\circ \) wpisano okrąg. Promień tego okręgu jest równy

Wysokość rombu jest równa \(12\), a jego pole jest równe \(180\). Sinus kąta ostrego rombu wynosi:

Na rysunku przedstawiono trapez \(ABCD\) oraz zaznaczono wysokości \(DE\) i \(CF\) tego trapezu. Punkt \(F\) jest środkiem podstawy \(AB\), a punkt \(E\) dzieli tę podstawę w stosunku \(2:5\). Wykaż, że punkt przecięcia wysokości \(CF\) z przekątną \(DB\) dzieli tę przekątną w stosunku \(3:7\), licząc od wierzchołka \(D\).

Rysunek przedstawia trapez równoramienny \(ABCD\) opisany na okręgu o środku \(S\) i promieniu \(r=\frac{\sqrt{91}}{2}\). Dolna podstawa trapezu jest o \(6\) dłuższa od górnej podstawy. Oblicz obwód trapezu \(ABCD\).

W trapezie prostokątnym \(ABCD\) dłuższa podstawa \(AB\) ma długość \(8\). Przekątna \(AC\) tego trapezu ma długość \(4\) i tworzy z krótszą podstawą trapezu kąt o mierze \(30^\circ\) (zobacz rysunek). Oblicz długość przekątnej \(BD\) tego trapezu.

W trapezie równoramiennym \(ABCD\) podstawy \(AB\) i \(CD\) mają długości równe odpowiednio \(a\) i \(b\) (przy czym \(a\gt b\)). Miara kąta ostrego trapezu jest równa \(30^\circ \). Wtedy wysokość tego trapezu jest równa

W równoległoboku \(ABCD\) punkt \(E\) jest środkiem boku \(BC\). Z wierzchołka \(D\) poprowadzono prostą przecinającą bok \(BC\) w punkcie \(E\). Proste \(AB\) i \(DE\) przecinają się w punkcie \(F\) (zobacz rysunek). Wykaż, że punkt \(B\) jest środkiem odcinka \(AF\).

Dany jest trapez prostokątny \(ABCD\) o podstawach \(AB\) i \(CD\) oraz wysokości \(AD\). Dwusieczna kąta \(ABC\) przecina ramię \(AD\) w punkcie \(E\) oraz dwusieczną kąta \(BCD\) w punkcie \(F\) (zobacz rysunek). Wykaż, że w czworokącie \(CDEF\) sumy miar przeciwległych kątów są sobie równe.

Dany jest trapez prostokątny \(ABCD\) taki, że kąty przy wierzchołkach \(A\) i \(D\) są proste oraz \(|AB|=10\), \(|DC|=6\), a przekątna \(AC\) jest dwa razy dłuższa od ramienia \(DA\). Na podstawie \(AB\) obrano taki punkt \(X\), że \(|CX|=|CB|\) (zobacz rysunek). Oblicz sinus kąta \(XCB\).