Poziom podstawowy
W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) dany jest kwadrat \(ABCD\). Wierzchołki \(A = (-2, 1)\) i \(C = (4, 5)\) są końcami przekątnej tego kwadratu.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Długość przekątnej kwadratu \(ABCD\) jest równa
A.\( 10 \)
B.\( 2\sqrt{13} \)
C.\( 2\sqrt{10} \)
D.\( 8 \)
B
W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) punkty \(A=(-2,-1)\) oraz \(C=(3,4)\) są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu \(ABCD\).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Długość boku kwadratu \(ABCD\) jest równa
A.\(5\)
B.10
C.\(5 \sqrt{2}\)
D.\(\sqrt{10}\)
A
Punkt \(A = (3, −5)\) jest wierzchołkiem kwadratu \(ABCD\), a punkt \(M = (1,3\)) jest punktem przecięcia się przekątnych tego kwadratu. Wynika stąd, że pole kwadratu \(ABCD\) jest równe
A.\( 68 \)
B.\( 136 \)
C.\( 2\sqrt{34} \)
D.\( 8\sqrt{34} \)
B
Punkty \(A = (-6, 5)\), \(B = (5, 7)\), \(C = (10, -3)\) są wierzchołkami równoległoboku \(ABCD\). Długość przekątnej \(BD\) tego równoległoboku jest równa
A.\( 3\sqrt{5} \)
B.\( 4\sqrt{5} \)
C.\( 6\sqrt{5} \)
D.\( 8\sqrt{5} \)
C
Proste o równaniach \(y=\frac{2}{3}x-3\) oraz \(y=(2m-1)x+1\) są prostopadłe, gdy
A.\( m=-\frac{5}{4} \)
B.\( m=-\frac{1}{4} \)
C.\( m=\frac{5}{6} \)
D.\( m=\frac{5}{4} \)
B
Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\), dana jest prosta \(k\) o równaniu \(y = −3x + 1\).
Dokończ zdania. Wybierz odpowiedź spośród A–D oraz odpowiedź spośród E–H.
1. Jedną z prostych równoległych do prostej \(k\) jest prosta o równaniu
A.\( y = 3x + 2 \)
B.\( y = -3x + 2 \)
C.\( y = \frac{1}{3}x + 1 \)
D.\( y = -\frac{1}{3}x + 1 \)
Jedną z prostych prostopadłych do prostej \(k\) jest prosta o równaniu E.\( y = \frac{1}{3}x + 2 \)
F.\( y = -\frac{1}{3}x + 2 \)
G.\( y = 3x + 1 \)
H.\( y = -3x + 1 \)
BE
Proste o równaniach o \(y=3ax-2\) i \(y=2x+3a\) są prostopadłe. Wtedy \(a\) jest równe
A.\( \frac{2}{3} \)
B.\( -\frac{1}{6} \)
C.\( \frac{3}{2} \)
D.\( -5 \)
B
Punkty \(A = (1, -3)\) oraz \(C = (-2, 4)\) są końcami przekątnej \(AC\) rombu \(ABCD\). Środek przekątnej \(BD\) tego rombu ma współrzędne
A.\( \left(-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right) \)
B.\( \left(\frac{1}{2},-\frac{3}{2}\right) \)
C.\( \left(-1,2\right) \)
D.\( \left(-1,1\right) \)
A
Punkty \(K=(4,-10)\) i \(L=(b,2)\) są końcami odcinka \(KL\). Pierwsza współrzędna środka odcinka \(KL\) jest równa \((−12)\). Wynika stąd, że
A.\( b=-28 \)
B.\( b=-14 \)
C.\( b=-24 \)
D.\( b=-10 \)
A
Dany jest trapez \(ABCD\), w którym boki \(AB\) i \(CD\) są równoległe oraz \(C=(3,5)\). Wierzchołki \(A\) i \(B\) tego trapezu leżą na prostej o równaniu \(y=5x+3\). Wtedy bok \(CD\) tego trapezu zawiera się w prostej o równaniu
A.\( y=3x+5 \)
B.\( y=-\frac{1}{5}x+3 \)
C.\( y=5x-10 \)
D.\( y=-\frac{1}{5}x+\frac{28}{5} \)
C
W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) dana jest prosta \(k\) o równaniu \(y=-7 x+3\). Prosta \(l\) jest równoległa do prostej \(k\) i przecina oś \(O y\) w punkcie \((0,6)\). Punkt o współrzędnych \((1, p)\) należy do prostej \(l\).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba \(p\) jest równa
A.\((-4)\)
B.\((-1)\)
C.\(\frac{5}{7}\)
D.\(7\)
B
Dane są punkty \(M=(6,0), N=(6,8)\) oraz \(O=(0,0)\). Tangens kąta ostrego \(MON\) jest równy
A.\( \frac{4}{3} \)
B.\( \frac{6}{10} \)
C.\( \frac{3}{4} \)
D.\( \frac{8}{10} \)
A
Dane są punkty \(A = (4,1)\), \(B = (1,3)\), \(C = (4,-1)\). Pole trójkąta \(ABC\) jest równe
A.\( 3 \)
B.\( 6 \)
C.\( 8 \)
D.\( 16 \)
A
Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\), dany jest trapez \(A B C D\), w którym boki \(AB\) i \(CD\) są równoległe oraz \(C=(3,15)\). Wierzchołki \(A\) i \(B\) tego trapezu leżą na prostej o równaniu \(3x-y+10=0\).
Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Bok \(CD\) tego trapezu zawiera się w prostej o równaniu
A.\(y=3 x+15\)
B.\(y=3 x+6\)
C.\(y=\frac{5}{3} x+10\)
D.\(y=-\frac{1}{3} x+16\)
B
Przekątne rombu \(ABCD\) przecinają się w punkcie \(S=\left(-\frac{21}{2},-1\right)\). Punkty \(A\) i \(C\) leżą na prostej o równaniu \(y=\frac{1}{3}x+\frac{5}{2}\). Wyznacz równanie prostej \(BD\).
\(y=-3x-32\frac{1}{2}\)
Dany jest kwadrat \(ABCD\), w którym \(A=\left(5,-\frac{5}{3}\right)\). Przekątna \(BD\) tego kwadratu jest zawarta w prostej o równaniu \(y=\frac{4}{3}x\). Oblicz współrzędne punktu przecięcia przekątnych \(AC\) i \(BD\) oraz pole kwadratu \(ABCD\).
Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\), punkty \(A=(-1,-5)\), \(B=(2,-7), C=(6,9)\) i \(D=(-2,9)\) są wierzchołkami czworokąta \(ABCD\).
Oblicz współrzędne punktu przecięcia przekątnych czworokąta \(ABCD\).
\(P=\left(\frac{2}{3},-\frac{5}{3}\right)\)
W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) przekątne równoległoboku \(A B C D\) przecinają się w punkcie \(S=\left(\frac{11}{2}, \frac{17}{2}\right)\). Bok \(A B\) tego równoległoboku zawiera się w prostej o równaniu \(y=x-2\), a bok \(A D\) zawiera się w prostej o równaniu \(y=3 x-6\).
Oblicz współrzędne wierzchołka \(B\).
\(B=(4,2)\)
W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) punkty \(A=(2,8)\) oraz \(B=(10,2)\) są wierzchołkami trójkąta równoramiennego \(ABP\), w którym \(|AP|=|BP|\). Wierzchołek \(P\) leży na osi \(O x\) układu współrzędnych.
Oblicz współrzędne punktu \(P\) oraz długość odcinka \(AP\).
\(P=\left(\frac{9}{4},0\right)\)
\(|AP|=\frac{5\sqrt{41}}{4}\)
Punkty \(A =(−20, 12)\) i \(B = (7, 3)\) są wierzchołkami trójkąta równoramiennego \(ABC\), w którym \(|AC| = |BC|\). Wierzchołek \(C\) leży na osi \(Oy\) układu współrzędnych. Oblicz współrzędne wierzchołka \(C\) oraz obwód tego trójkąta.
Prosta o równaniu \(y = -2x + 7\) jest symetralną odcinka \(PQ\), gdzie \(P = (4,5)\). Oblicz współrzędne punktu \(Q\).
\(Q=\left(-\frac{4}{5}, \frac{13}{5}\right)\)