Zbiór zadań - proste na płaszczyźnie

Drukuj
Poziom podstawowy
Zbiór zadań do kursu: Matura podstawowa od 2023.
W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) dany jest kwadrat \(ABCD\). Wierzchołki \(A = (-2, 1)\) i \(C = (4, 5)\) są końcami przekątnej tego kwadratu.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Długość przekątnej kwadratu \(ABCD\) jest równa
A.\( 10 \)
B.\( 2\sqrt{13} \)
C.\( 2\sqrt{10} \)
D.\( 8 \)
B
Punkty \(A = (-6, 5)\), \(B = (5, 7)\), \(C = (10, -3)\) są wierzchołkami równoległoboku \(ABCD\). Długość przekątnej \(BD\) tego równoległoboku jest równa
A.\( 3\sqrt{5} \)
B.\( 4\sqrt{5} \)
C.\( 6\sqrt{5} \)
D.\( 8\sqrt{5} \)
C
Proste o równaniach \(y=\frac{2}{3}x-3\) oraz \(y=(2m-1)x+1\) są prostopadłe, gdy
A.\( m=-\frac{5}{4} \)
B.\( m=-\frac{1}{4} \)
C.\( m=\frac{5}{6} \)
D.\( m=\frac{5}{4} \)
B
Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\), dana jest prosta \(k\) o równaniu \(y = −3x + 1\).
Dokończ zdania. Wybierz odpowiedź spośród A–D oraz odpowiedź spośród E–H.
1. Jedną z prostych równoległych do prostej \(k\) jest prosta o równaniu
A.\( y = 3x + 2 \)
B.\( y = -3x + 2 \)
C.\( y = \frac{1}{3}x + 1 \)
D.\( y = -\frac{1}{3}x + 1 \)
Jedną z prostych prostopadłych do prostej \(k\) jest prosta o równaniu
E.\( y = \frac{1}{3}x + 2 \)
F.\( y = -\frac{1}{3}x + 2 \)
G.\( y = 3x + 1 \)
H.\( y = -3x + 1 \)
BE
Proste o równaniach o \(y=3ax-2\) i \(y=2x+3a\) są prostopadłe. Wtedy \(a\) jest równe
A.\( \frac{2}{3} \)
B.\( -\frac{1}{6} \)
C.\( \frac{3}{2} \)
D.\( -5 \)
B
Punkty \(A = (1, -3)\) oraz \(C = (-2, 4)\) są końcami przekątnej \(AC\) rombu \(ABCD\). Środek przekątnej \(BD\) tego rombu ma współrzędne
A.\( \left(-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right) \)
B.\( \left(\frac{1}{2},-\frac{3}{2}\right) \)
C.\( \left(-1,2\right) \)
D.\( \left(-1,1\right) \)
A
Punkty \(K=(4,-10)\) i \(L=(b,2)\) są końcami odcinka \(KL\). Pierwsza współrzędna środka odcinka \(KL\) jest równa \((−12)\). Wynika stąd, że
A.\( b=-28 \)
B.\( b=-14 \)
C.\( b=-24 \)
D.\( b=-10 \)
A
Dany jest trapez \(ABCD\), w którym boki \(AB\) i \(CD\) są równoległe oraz \(C=(3,5)\). Wierzchołki \(A\) i \(B\) tego trapezu leżą na prostej o równaniu \(y=5x+3\). Wtedy bok \(CD\) tego trapezu zawiera się w prostej o równaniu
A.\( y=3x+5 \)
B.\( y=-\frac{1}{5}x+3 \)
C.\( y=5x-10 \)
D.\( y=-\frac{1}{5}x+\frac{28}{5} \)
C
Dane są punkty \(M=(6,0), N=(6,8)\) oraz \(O=(0,0)\). Tangens kąta ostrego \(MON\) jest równy
A.\( \frac{4}{3} \)
B.\( \frac{6}{10} \)
C.\( \frac{3}{4} \)
D.\( \frac{8}{10} \)
A
Punkt \(A = (3, −5)\) jest wierzchołkiem kwadratu \(ABCD\), a punkt \(M = (1,3\)) jest punktem przecięcia się przekątnych tego kwadratu. Wynika stąd, że pole kwadratu \(ABCD\) jest równe
A.\( 68 \)
B.\( 136 \)
C.\( 2\sqrt{34} \)
D.\( 8\sqrt{34} \)
B
Dane są punkty \(A = (4,1)\), \(B = (1,3)\), \(C = (4,-1)\). Pole trójkąta \(ABC\) jest równe
A.\( 3 \)
B.\( 6 \)
C.\( 8 \)
D.\( 16 \)
A
Przekątne rombu \(ABCD\) przecinają się w punkcie \(S=\left(-\frac{21}{2},-1\right)\). Punkty \(A\) i \(C\) leżą na prostej o równaniu \(y=\frac{1}{3}x+\frac{5}{2}\). Wyznacz równanie prostej \(BD\).
\(y=-3x-32\frac{1}{2}\)
Dany jest kwadrat \(ABCD\), w którym \(A=\left(5,-\frac{5}{3}\right)\). Przekątna \(BD\) tego kwadratu jest zawarta w prostej o równaniu \(y=\frac{4}{3}x\). Oblicz współrzędne punktu przecięcia przekątnych \(AC\) i \(BD\) oraz pole kwadratu \(ABCD\).
Punkty \(A =(−20, 12)\) i \(B = (7, 3)\) są wierzchołkami trójkąta równoramiennego \(ABC\), w którym \(|AC| = |BC|\). Wierzchołek \(C\) leży na osi \(Oy\) układu współrzędnych. Oblicz współrzędne wierzchołka \(C\) oraz obwód tego trójkąta.
Prosta o równaniu \(y = -2x + 7\) jest symetralną odcinka \(PQ\), gdzie \(P = (4,5)\). Oblicz współrzędne punktu \(Q\).
\(Q=\left(-\frac{4}{5}, \frac{13}{5}\right)\)