Zbiór zadań - promienie, cięciwy i średnice w okręgu

Drukuj

Zbiór zadań do kursu: Matura podstawowa od 2023.

Dane są okrąg o środku \(S\) oraz prosta \(k\) styczna do okręgu w punkcie \(A\). Odcinek \(AB\) jest cięciwą tego okręgu. Miara kąta ostrego pomiędzy prostą \(k\) a cięciwą \(AB\) jest równa \(50^\circ\). Punkt \(C\) leży na okręgu. Kąt \(\sphericalangle BCA\) jest ostry. Sytuację przedstawia rysunek poniżej.

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Miara kąta \(\sphericalangle BCA\) jest równa

A.\( 100^\circ \)

B.\( 80^\circ \)

C.\( 50^\circ \)

D.\( 40^\circ \)

Odcinek \(AB\) jest średnicą okręgu o środku w punkcie \(O\) i promieniu \(r = 8\) (zobacz rysunek). Cięciwa \(AC\) ma długość \(8\sqrt{3}\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Miara kąta \(BAC\) jest równa

A.\( 30^\circ \)

B.\( 45^\circ \)

C.\( 15^\circ \)

D.\( 60^\circ \)

Punkty \(A\) oraz \(B\) leżą na okręgu o środku \(O\). Proste \(k\) i \(l\) są styczne do tego okręgu w punktach - odpowiednio - \(A\) i \(B\). Te proste przecinają się w punkcie \(S\) i tworzą kąt o mierze \(76^\circ\) (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Miara kąta \(OBA\) jest równa

A.\( 52^\circ \)

B.\( 26^\circ \)

C.\( 14^\circ \)

D.\( 38^\circ \)

Wierzchołki \(A\), \(B\), \(C\) czworokąta \(ABSC\) leżą na okręgu o środku \(S\). Kąt \(ABS\) ma miarę \(40^\circ\) (zobacz rysunek), a przekątna \(BC\) jest dwusieczną tego kąta.

Miara kąta \(ASC\) jest równa

A.\( 30^\circ \)

B.\( 40^\circ \)

C.\( 50^\circ \)

D.\( 60^\circ \)

Punkty \(A\) oraz \(B\) leżą na okręgu o środku \(S\). Kąt środkowy \(ASB\) ma miarę \(100^\circ\). Prosta \(l\) jest styczna do tego okręgu w punkcie \(A\) i tworzy z cięciwą \(AB\) okręgu kąt o mierze \(\alpha\) (zobacz rysunek).

Wtedy

A.\( \alpha =40^\circ \)

B.\( \alpha =45^\circ \)

C.\( \alpha =50^\circ \)

D.\( \alpha =60^\circ \)

W pierścieniu kołowym cięciwa zewnętrznego okręgu ma długość \(10\) i jest styczna do wewnętrznego okręgu (zobacz rysunek).

Wykaż, że pole tego pierścienia można wyrazić wzorem, w którym nie występują promienie wyznaczających go okręgów.

Na trójkącie o bokach długości \(\sqrt{7}, \sqrt{8}, \sqrt{15}\) opisano okrąg. Oblicz promień tego okręgu.

\(r=\frac{\sqrt{15}}{2}\)

Końce odcinka \(AB\) o długości \(9\) są środkami okręgów o promieniach \(6\) i \(4\) (zobacz rysunek).

Punkt \(C\) leży na odcinku \(AB\) i jest środkiem takiego okręgu, o promieniu większym od \(6\), że dwa dane okręgi są do niego wewnętrznie styczne. Promień okręgu o środku \(C\) ma długość

A.\( 6{,}5 \)

B.\( 7{,}5 \)

C.\( 8{,}5 \)

D.\( 9{,}5 \)

Dwa okręgi o promieniach \(r\) i \(R\) są styczne zewnętrznie i są styczne do wspólnej prostej w punktach \(A\) i \(B\) (zobacz rysunek). Oblicz wartość iloczynu \(rR\), jeżeli wiadomo, że odcinek \(AB\) ma długość \(5\).

\(\frac{25}{4}\)

Do okręgu o środku \(O\) poprowadzono z zewnętrznego punktu \(P\) dwie styczne przecinające się w \(P\) pod kątem \(50^\circ \) (zobacz rysunek). Punktami styczności są, odpowiednio, punkty \(A\) i \(B\).

Kąt \(AOB\) ma miarę

A.\( 90^\circ \)

B.\( 120^\circ \)

C.\( 130^\circ \)

D.\( 150^\circ \)

Dany jest okrąg o środku w punkcie \(S\) i promieniu \(r\). Na przedłużeniu cięciwy \(AB\) poza punkt \(B\) odłożono odcinek \(BC\) równy promieniowi danego okręgu. Przez punkty \(C\) i \(S\) poprowadzono prostą. Prosta \(CS\) przecina dany okrąg w punktach \(D\) i \(E\) (zobacz rysunek). Wykaż, że jeżeli miara kąta \(ACS\) jest równa \(\alpha\), to miara kąta \(ASD\) jest równa \(3\alpha\).

Na rysunku zaznaczono kąt środkowy okręgu o mierze \(250^\circ \) oraz kąt prosty pod jakim przecinają się dwie cięciwy.

Zaznaczony kąt \(\alpha \) ma miarę

A.\( 30^\circ \)

B.\( 35^\circ \)

C.\( 40^\circ \)

D.\( 45^\circ \)

Prosta \(k\) jest styczna w punkcie \(A\) do okręgu o środku \(O\). Punkt \(B\) leży na tym okręgu i miara kąta \(AOB\) jest równa \(80^\circ \). Przez punkty \(O\) i \(B\) poprowadzono prostą, która przecina prostą \(k\) w punkcie \(C\) (zobacz rysunek).

Miara kąta \(BAC\) jest równa

A.\( 10^\circ \)

B.\( 30^\circ \)

C.\( 40^\circ \)

D.\( 50^\circ \)

Punkty \(A, B, C\) i \(D\) leżą na okręgu o środku w punkcie \(O\). Cięciwy \(DB\) i \(AC\) przecinają się w punkcie \(E\), \(|\sphericalangle ACB|=55^\circ \) oraz \(|\sphericalangle AEB|=140^\circ \) (zobacz rysunek).

Miara kąta \(DAC\) jest równa

A.\( 45^\circ \)

B.\( 55^\circ \)

C.\( 70^\circ \)

D.\( 85^\circ \)

Punkty \(A,\ B,\ C\) leżą na okręgu o środku \(S\). Punkt \(D\) jest punktem przecięcia cięciwy \(AC\) i średnicy okręgu poprowadzonej z punktu \(B\). Miara kąta \(BSC\) jest równa \(\alpha \), a miara kąta \(ADB\) jest równa \(\gamma \) (zobacz rysunek).

Wtedy kąt \(ABD\) ma miarę

A.\( \frac{\alpha }{2}+\gamma -180^\circ \)

B.\( 180^\circ -\frac{\alpha }{2}-\gamma \)

C.\( 180^\circ -\alpha -\gamma \)

D.\( \alpha +\gamma -180^\circ \)

Pole figury \(F_1\) złożonej z dwóch stycznych zewnętrznie kół o promieniach \(1\) i \(3\) jest równe polu figury \(F_2\) złożonej z dwóch stycznych zewnętrznie kół o promieniach długości \(r\) (zobacz rysunek).

Długość \(r\) promienia jest równa

A.\( \sqrt{3} \)

B.\( 2 \)

C.\( \sqrt{5} \)

D.\( 3 \)

Punkty \(A,\ B,\ P\) leżą na okręgu o środku \(S\) i promieniu \(6\). Czworokąt \(ASBP\) jest rombem, w którym kąt ostry \(PAS\) ma miarę \(60^\circ \) (zobacz rysunek).

Pole zakreskowanej na rysunku figury jest równe

A.\( 6\pi \)

B.\( 9\pi \)

C.\( 10\pi \)

D.\( 12\pi \)

Dwa okręgi o promieniach \(r = 2\) i \(R = 6\) są styczne zewnętrznie i są styczne do wspólnej prostej \(k\). Wykaż, że prosta \(l\) przechodząca przez środki \(S\) i \(P\) tych okręgów przecina prostą \(k\) pod kątem \(\alpha = 30^\circ \) (zobacz rysunek).

Środek okręgu leży w odległości \(10\) cm od cięciwy tego okręgu. Długość tej cięciwy jest o \(22\) cm większa od promienia tego okręgu. Oblicz promień tego okręgu.

\(r=26\)

W kwadrat o boku długości \(1\) wpisano półokrąg i narysowano do niego odcinek styczny. Oblicz długość tego odcinka.