Zbiór zadań - podobieństwo figur

W trójkącie \(ABC\) punkt \(D\) leży na boku \(BC\), a punkt \(E\) leży na boku \(AB\). Odcinek \(DE\) jest równoległy do boku \(AC\), a ponadto \(|BD|=10\), \(|BC|=12\) i \(|AC|=24\) (zobacz rysunek). Długość odcinka \(DE\) jest równa

Przez punkt przecięcia wysokości trójkąta równobocznego \(ABC\) poprowadzono prostą \(DE\) równoległą do podstawy \(AB\) (zobacz rysunek). Stosunek pola trójkąta \(ABC\) do pola trójkąta \(CDE\) jest równy

Stosunek obwodów dwóch sześciokątów foremnych wynosi \(\frac{3}{4}\), a długość boku większego z nich jest równa \(12\) cm. Mniejszy sześciokąt foremny ma bok długości:

W trapezie \(ABCD\) przekątne przecinają się w punkcie \(P\). Punkt \(P\) dzieli przekątne na odcinki długości: \(|AP|=8\), \(|PC|=3\) i \(|BP|=12\). Długości podstaw \(AB\) i \(CD\) trapezu różnią się o \(15\). Oblicz długość odcinka \(DP\) oraz długości podstaw \(AB\) i \(CD\) trapezu.

Ramiona trapezu równoramiennego \(ABCD\) przedłużono i przecięły się w punkcie \(E\) (patrz rysunek). Wiadomo, że \(|CD|=4, |DE|=6\) oraz \(|AB|=|CE|\). Oblicz pole trapezu \(ABCD\).

Dany jest trapez \(ABCD\) o podstawach \(AB\) i \(CD\). Przekątne \(AC\) i \(BD\) tego trapezu przecinają się w punkcie \(S\) (zobacz rysunek) tak, że \(\frac{|AS|}{|SC|}=\frac{3}{2}\). Pole trójkąta \(ABS\) jest równe \(12\). Oblicz pole trójkąta \(CDS\).

Dany jest trójkąt równoramienny \(ABC\), w którym \(|AC|=|BC|\). Dwusieczna kąta \(BAC\) przecina bok \(BC\) w takim punkcie \(D\), że trójkąty \(ABC\) i \(BDA\) są podobne (zobacz rysunek). Oblicz miarę kąta \(BAC\).

Dany jest trójkąt równoboczny \(ABC\) o boku długości \(24\). Punkt \(E\) leży na boku \(AB\), a punkt \(F\) - na boku \(BC\) tego trójkąta. Odcinek \(EF\) jest równoległy do boku \(AC\) i przechodzi przez środek \(S\) wysokości \(CD\) trójkąta \(ABC\) (zobacz rysunek). Oblicz długość odcinka \(EF\).

Dany jest trójkąt \(ABC\). Na boku \(AB\) tego trójkąta wybrano punkt \(D\), taki, że \(|AD| = \frac{1}{4}|AB|\), a na boku \(BC\) wybrano taki punkt \(E\), że \(|BE| = \frac{1}{5}|BC|\) (zobacz rysunek poniżej). Pole trójkąta \(ABC\) jest równe \(20\).

Rozważmy trójkąt prostokątny \(ABC\) o kącie prostym przy wierzchołku \(A\). Niech każdy z boków tego trójkąta: \(CA\), \(AB\), \(BC\) będzie podstawą trójkątów podobnych, odpowiednio: \(CAW_1\), \(ABW_2\), \(CBW_3\). Trójkąty te mają odpowiadające sobie kąty o równych miarach, odpowiednio przy wierzchołkach: \(W_1, W_2, W_3\). Pola trójkątów: \(CAW_1\), \(ABW_2\), \(CBW_3\) oznaczymy odpowiednio jako \(P_1\), \(P_2\), \(P_3\). Udowodnij, że: \[P_3=P_1+P_2\]

Trzy różne punkty \(A\), \(B\) i \(D\) leżą na okręgu o środku w punkcie \(S\). Odcinek \(BD\) jest średnicą tego okręgu. Styczne \(k\) i \(l\) do tego okręgu, odpowiednio w punktach \(A\) i \(B\), przecinają się w punkcie \(C\) (zobacz rysunek poniżej).

Pole trójkąta \(ABC\) równe jest \(S\). Każdy bok trójkąta podzielono w stosunku \(x : y : x\), gdzie \(x\) i \(y\) są pewnymi liczbami dodatnimi. Wyznacz pole sześciokąta, którego wierzchołkami są punkty podziałów boków trójkąta (zobacz rysunek).

Dany jest trójkąt równoramienny \(ABC\), w którym podstawa \(AB\) ma długość \(12\), a każde z ramion \(AC\) i \(BC\) ma długość równą \(10\). Punkt \(D\) jest środkiem ramienia \(BC\) (zobacz rysunek). Oblicz sinus kąta \(\alpha \), jaki środkowa \(AD\) tworzy z ramieniem \(AC\) trójkąta \(ABC\).