Zbiór zadań - funkcja liniowa i kwadratowa w praktyce
Zbiór zadań do kursu: Matura podstawowa od 2023.
Na podstawie zasad dynamiki można udowodnić, że torem rzutu – przy pominięciu oporów powietrza - jest fragment paraboli. Koszykarz wykonał rzut do kosza z odległości \(x_k=7{,}01\) m, licząc od środka piłki do środka obręczy kosza w linii poziomej. Do opisu toru ruchu przyjmiemy układ współrzędnych, w którym środek piłki w chwili początkowej znajdował się w punkcie \(x_0=0\), \(y_0 = 2{,}50\) m. Środek piłki podczas rzutu poruszał się po paraboli danej równaniem: \[y = −0{,}174x^2 + 1{,}3x + 2{,}5\] Rzut okazał się udany, a środek piłki przeszedł dokładnie przez środek kołowej obręczy kosza. Na rysunku poniżej przedstawiono tę sytuację oraz tor ruchu piłki w układzie współrzędnych.
Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych. Obręcz kosza znajduje się na wysokości (podanej w zaokrągleniu z dokładnością do 0,01 m)
A.\( 3{,}04 \) m
B.\( 3{,}06 \) m
C.\( 3{,}80 \) m
D.\( 4{,}93 \) m
Oblicz wysokość maksymalną, na jaką wzniesie się środek piłki podczas opisanego rzutu. Zapisz wynik w zaokrągleniu do drugiego miejsca po przecinku.
W opisanym rzucie piłka przeleciała swobodnie przez obręcz kosza i upadła na parkiet. Przyjmij, że obręcz kosza nie miała siatki, a na drodze rzutu nie było żadnej przeszkody. Promień piłki jest równy \(0{,}12\) m.
Oblicz współrzędną \(x\) punktu środka piłki w momencie, w którym piłka dotknęła parkietu. Zapisz wynik w zaokrągleniu do drugiego miejsca po przecinku.
Firma przeprowadziła badania rynkowe dotyczące wpływu zmiany ceny \(P\) swojego produktu na liczbę \(Q\) kupujących ten produkt. Z badań wynika, że każdorazowe zwiększenie ceny o \(1\) jednostkę powoduje spadek liczby kupujących o \(3\) jednostki. Ponadto przy cenie równej \(5\) jednostek liczba kupujących jest równa \(12\) jednostek.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Funkcja, która opisuje zależność liczby kupujących ten produkt od jego ceny, ma wzór A.\( Q=-0{,}9P^2+6{,}9 \)
B.\( Q=-3P+27 \)
C.\( P=-0{,}9Q^2+6{,}9 \)
D.\( P=-3Q+27 \)
Rozważmy prostokąt o polu mniejszym od \(24\), w którym jeden bok jest od drugiego dłuższy o \(5\). Oblicz długość dłuższego boku prostokąta, jeśli jest ona liczbą całkowitą parzystą.
Do napełniania basenu służą dwie pompy. Pierwsza z nich ma wydajność o \(20\%\) większą niż druga. Napełnienie pustego basenu tylko drugą pompą trwa o \(1\) godzinę i \(40\) minut dłużej niż przy użyciu tylko pierwszej pompy. Oblicz, jaką część pustego basenu napełnią w ciągu jednej godziny obie pompy, pracując jednocześnie.
Wykres funkcji kwadratowej \(f\) przecina oś \(Ox\) w punktach \(x=1\) oraz \(x=3\) i przechodzi przez punkt \((0,-3)\). Wykres ten przesunięto i otrzymano wykres funkcji kwadratowej \(g(x)=f(x-p)\). Wierzchołek funkcji \(g\) leży na osi \(Oy\). Wyznacz wzór funkcji \(g\).
Parabola, która jest wykresem funkcji kwadratowej \(f(x)=ax^2+bx+c\), przechodzi przez punkt \((-2,10)\) oraz \(f(-1)=f(3)=0\). Oblicz odległość wierzchołka paraboli od początku układu współrzędnych.
Funkcja kwadratowa \(f\), której miejscami zerowymi są liczby \(-2\) i \(4\), dla argumentu \(1\) przyjmuje wartość \(3\). Uzasadnij, że wykres funkcji \(f\) ma dwa punkty wspólne z prostą \(y=2\).
Wierzchołki trójkąta \(ABC\) leżą na paraboli, która jest wykresem pewnej funkcji kwadratowej \(f\) (zobacz rysunek). 
Pole trójkąta jest równe \(8\), punkt \(C=(1,4)\) jest wierzchołkiem paraboli, a punkty \(A\) i \(B\) leżą na osi \(Ox\). Wyznacz wzór funkcji \(f\).
Pole trójkąta jest równe \(8\), punkt \(C=(1,4)\) jest wierzchołkiem paraboli, a punkty \(A\) i \(B\) leżą na osi \(Ox\). Wyznacz wzór funkcji \(f\).