Zbiór zadań - ciągi w zadaniach praktycznych

Ciąg \( (2x – 1, y, 6x + 3)\ \) jest arytmetyczny, a ciąg \( (3, y, 27)\ \) jest geometryczny rosnący. Oblicz \(x\) i \(y\).

Wykaż, że jeśli liczby \((3^a,3^b,3^c)\) tworzą ciąg geometryczny, to liczby \((a,b,c)\) tworzą ciąg arytmetyczny.

Dany jest skończony, pięciowyrazowy ciąg \((4a-5; a; b; b+2; 9)\). Trzy pierwsze wyrazy tego ciągu są trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, a trzy ostatnie są trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. Oblicz \(a\) i \(b\).

Trzy liczby tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy \(r=-4\). Jeśli pierwszą i drugą liczbę powiększymy o \(3\), a trzecią powiększymy o \(4\), to otrzymamy trzy kolejne wyrazy ciągu geometrycznego. Oblicz liczby tworzące ciąg arytmetyczny i ciąg geometryczny.

Ciąg \((a,b,c)\) jest geometryczny, a ciąg \(\left(a,\frac{c}{6},b-4\right)\) jest arytmetyczny. Ponadto \(a+b+c=52\). Wyznacz \(a,b,c\). Znajdź wszystkie rozwiązania.

Rosnący ciąg arytmetyczny \((a_n)\) jest określony dla każdej liczby naturalnej \(n\ge 1\). Suma pierwszych pięciu wyrazów tego ciągu jest równa \(10\). Wyrazy \(a_3, a_5, a_{13}\) tworzą – w podanej kolejności – ciąg geometryczny. Wyznacz wzór na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego \((a_n)\).

Dany jest ciąg \((a_n)\) określony wzorem \(a_n=\frac{5-3n}{7}\) dla każdej liczby naturalnej \(n\ge 1\). Trójwyrazowy ciąg \((a_4, x^2+2,a_{11})\), gdzie \(x\) jest liczbą rzeczywistą, jest geometryczny. Oblicz \(x\) oraz iloraz tego ciągu geometrycznego.

W nieskończonym ciągu arytmetycznym \((a_n)\), określonym dla \(n\ge 1\), suma jedenastu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa \(187\). Średnia arytmetyczna pierwszego, trzeciego i dziewiątego wyrazu tego ciągu, jest równa \(12\). Wyrazy \(a_1, a_3, a_k\) ciągu \((a_n)\), w podanej kolejności, tworzą nowy ciąg - trzywyrazowy ciąg geometryczny \((b_n)\). Oblicz \(k\).