Poziom podstawowy
W ciągu geometrycznym, który ma sześć wyrazów, dane są \(a_3=\frac{1}{2}\) i \(a_6=\frac{1}{16}\). Zatem:
A.\( a_2=\frac{1}{4} \)
B.\( a_2=\frac{1}{8} \)
C.\( a_2=1 \)
D.\( a_2=2 \)
C
Dla pewnej liczby \(x\) ciąg \((x, x + 4, 16)\) jest geometryczny. Liczba \(x\) jest równa
A.\( 8 \)
B.\( 4 \)
C.\( 2 \)
D.\( 0 \)
B
Trzywyrazowy ciąg \(\left(15, 3x, \frac{5}{3}\right)\) jest geometryczny i wszystkie jego wyrazy są dodatnie. Stąd wynika, że
A.\( x=\frac{3}{5} \)
B.\( x=\frac{4}{5} \)
C.\( x=1 \)
D.\( x=\frac{5}{3} \)
D
Wszystkie wyrazy ciągu geometrycznego \((a_n)\) określonego dla \(n\ge1\) są dodatnie i \(3a_2=2a_3\). Stąd wynika, że iloraz \(q\) tego ciągu jest równy
A.\( q=\frac{2}{3} \)
B.\( q=\frac{3}{2} \)
C.\( q=6 \)
D.\( q=5 \)
B
Pierwszy wyraz ciągu geometrycznego jest równy \(8\), a czwarty wyraz tego ciągu jest równy \((-216)\). Iloraz tego ciągu jest równy
A.\( -\frac{224}{3} \)
B.\( -3 \)
C.\( -9 \)
D.\( -27 \)
B
Dany jest ciąg geometryczny \((a_n)\), określony dla każdej liczby naturalnej \(n \ge 1\). Drugi wyraz tego ciągu oraz iloraz ciągu \((a_n)\) są równe \(2\). Suma pięciu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu jest równa
A.\( 1 \)
B.\( 11 \)
C.\( 21 \)
D.\( 31 \)
D
Ciąg geometryczny \((a_n)\) jest niemonotoniczny oraz \(\frac{a_{13}}{a_9}=64\). Iloraz \(q\) tego ciągu jest równy
A.\( -\sqrt{2} \)
B.\( 2 \)
C.\( 2\sqrt{2} \)
D.\( -2\sqrt{2} \)
D
Dany jest ciąg geometryczny \((a_n)\), określony dla \(n\ge1\), w którym \(a_1 = \sqrt{2}\), \(a_2 = 2\sqrt{2}\), \(a_3 = 4\sqrt{2}\). Wzór na \(n\)-ty wyraz tego ciągu ma postać
A.\( a_n = \bigl(\sqrt{2}\bigl)^n \)
B.\( a_n = \Biggl(\frac{\sqrt{2}}{2}\Biggl)^n \)
C.\( a_n = \frac{2^n}{\sqrt{2}} \)
D.\( a_n = \frac{\bigl(\sqrt{2}\bigl)^n}{2} \)
C
Wszystkie wyrazy nieskończonego ciągu geometrycznego \((a_n)\), określonego dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\), są dodatnie i \(9a_5=4a_3\). Wtedy iloraz tego ciągu jest równy
A.\( \frac{2}{3} \)
B.\( \frac{3}{2} \)
C.\( \frac{2}{9} \)
D.\( \frac{9}{2} \)
A
Dany jest ciąg geometryczny o wyrazach różnych od \(0\). Suma siódmego i ósmego wyrazu tego ciągu jest równa \(0\). Oznacza to, że suma tysiąca początkowych wyrazów tego ciągu jest równa:
A.\( 1000a_1 \)
B.\( 1001a_1 \)
C.\( 10 \)
D.\( 0 \)
D
W ciągu geometrycznym \((a_n)\), w którym \(a_1=1\), znane są wartości dwóch wyrazów: \(a_k=16\) i \(a_{k+2}=32\), gdzie \(k\) jest pewną liczbą całkowitą dodatnią. Wyznacz wyraz \(a_{10}\).
\(16\sqrt{2}\) lub \(-16\sqrt{2}\)
Dana jest funkcja wykładnicza \(f(x)=2^x\) oraz ciąg o wyrazie ogólnym \(a_n=f(3n)\), dla \(n\ge 1\). Wykaż, że ciąg \((a_n)\) jest geometryczny i oblicz iloraz tego ciągu.
Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x) = \frac{1}{x}\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x \ne 0\).
Oblicz wartość \(m\), dla której liczby \(f(m)\), \(f(1)\), \(f(2)\) są - odpowiednio - pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu geometrycznego.
\(m=\frac{1}{2}\)
W ciągu geometrycznym przez \(S_n\) oznaczamy sumę \(n\) początkowych wyrazów tego ciągu, dla liczb naturalnych \(n\ge1\). Wiadomo, że dla pewnego ciągu geometrycznego: \(S_1=2\) i \(S_2=12\). Wyznacz iloraz i piąty wyraz tego ciągu.
Skończony ciąg \((a_1,a_2,a_3,a_4,a_5)\) jest geometryczny. Uzasadnij, że mając dany tylko wyraz środkowy \(a_3\), można obliczyć iloczyn wszystkich wyrazów tego ciągu.
W pewnym ciągu geometrycznym \(a_n\) wyraz \(a_4\) jest osiem razy większy od wyrazu \(a_1\). Drugi wyraz tego ciągu jest równy \(6\). Znajdź najmniejszą liczbę naturalną \(k\) taką, że \(a_k\gt 100\).
\(k=7\)
W ciągu geometrycznym \((a_n)\) o różnych i niezerowych wyrazach różnica między wyrazami piątym i trzecim jest trzy razy większa niż różnica między wyrazami czwartym i trzecim. Oblicz iloraz ciągu \((a_n)\).
\(2\)
Wszystkie wyrazy ciągu geometrycznego \((a_n)\), określonego dla \(n\ge1\), są dodatnie. Wyrazy tego ciągu spełniają warunek \(6a_1-5a_2+a_3=0\). Oblicz iloraz \(q\) tego ciągu należący do przedziału \(\langle 2\sqrt{2}, 3\sqrt{2} \rangle \).