Poziom podstawowy
Ciąg \(a_n\) jest określony wzorem
\(a_n=(-2)^{3n}\cdot (n^2-4)\) dla \(n\ge 1\). Wówczas
A.\( a_2=64 \)
B.\( a_2=0 \)
C.\( a_2=-64 \)
D.\( a_2=128 \)
B
Dany jest ciąg \((a_n)\) określony wzorem \(a_n=\frac{n}{(-2)^n}\) dla \(n\ge 1\). Wówczas
A.\( a_3=\frac{1}{2} \)
B.\( a_3=-\frac{1}{2} \)
C.\( a_3=\frac{3}{8} \)
D.\( a_3=-\frac{3}{8} \)
D
Ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem \(a_n=\sqrt{2n+4}\) dla \(n\ge 1\). Wówczas
A.\( a_8=2\sqrt{5} \)
B.\( a_8=8 \)
C.\( a_8=5\sqrt{2} \)
D.\( a_8=\sqrt{12} \)
A
Dany jest ciąg \( (a_n) \) określony wzorem \( a_n=(-1)^n\cdot \frac{2-n}{n^2} \) dla \( n\ge 1 \). Wówczas wyraz \( a_5 \) tego ciągu jest równy
A.\(-\frac{3}{25} \)
B.\(\frac{3}{25} \)
C.\(-\frac{7}{25} \)
D.\(\frac{7}{25} \)
B
Ciąg dany jest wzorem \(a_n=(-1)^n+\frac{n^2+n}{2n-1}\). Oblicz \(a_1\) i \(a_6\).
\(a_1=1\), \(a_6=\frac{53}{11}\)
Ciąg \(a_n\) jest określony wzorem
\(a_n=(-3)^n\cdot (9-n^2)\) dla \(n\ge 1\). Wynika stąd, że
A.\( a_3=-81 \)
B.\( a_3=-27 \)
C.\( a_3=0 \)
D.\( a_3>0 \)
C
Ogólny wyraz nieskończonego ciągu \((a_n)\), gdzie \(n \in \mathbb{N}_+\), jest następujący:
\(a_n=(n^2-2)(n^2-3n)\). Wszystkie miejsca zerowe ciągu \((a_n)\) tworzą zbiór:
A.\( \{-\sqrt{2}, 0, \sqrt{2}, 3\} \)
B.\( \{0, \sqrt{2}, 3\} \)
C.\( \{0, 3\} \)
D.\( \{3\} \)
D
Dany jest ciąg \( (a_n) \) określony wzorem
\(a_n=\frac{2^n\cdot n^2}{1-n^2}\) dla \(n\ge 1\). Wówczas wyraz \(a_3\) tego ciągu jest równy
A.\( -7{,}2 \)
B.\( 7{,}2 \)
C.\( -9 \)
D.\( 9 \)
C
Suma \(n\) początkowych wyrazów pewnego ciągu liczbowego \((a_n)\) wyraża się wzorem \(S_n = 3n^2 + 8n\). Wyznacz dwa początkowe wyrazy ciągu \((a_n)\).
\(a_1=11\), \(a_2=17\)
Ciąg \((a_n)\) jest określony dla \(n\ge 1\) wzorem \(a_n=-n^2-4\sqrt{3}\) . Sprawdź którym wyrazem tego ciągu jest liczba \(-3^2-(2+\sqrt{3})^2\).
czwartym
Ile wyrazów ujemnych ma ciąg \((a_n)\) określony wzorem
\(a_n = 2n^2 - 9\) dla \(n \ge 1\)?
A.\( 0 \)
B.\( 1 \)
C.\( 2 \)
D.\( 3 \)
C
Ile wyrazów ujemnych ma ciąg \((a_n)\) określony wzorem \(a_n = n^2 - 2n - 24\) dla \(n \ge 1\)?
\(5\)
Ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem
\(a_n=n^2-n\), dla
\(n \ge 1\). Który wyraz tego ciągu jest równy \(6\)?
A.drugi
B.trzeci
C.szósty
D.trzydziesty
B
Ciąg \((b_n)\) określony jest wzorem
\(b_n=(-1)^{2n+3}\cdot (n+1)\). Suma dwóch pierwszych wyrazów tego ciągu jest równa:
A.\( -5 \)
B.\( -1 \)
C.\( 1 \)
D.\( 5 \)
A
Ciąg arytmetyczny \((a_n)\) jest określony wzorem
\(a_n = -2n + 1\) dla \(n \ge 1\). Różnica tego ciągu jest równa
A.\( -1 \)
B.\( 1 \)
C.\( -2 \)
D.\( 3 \)
C
W ciągu arytmetycznym piąty wyraz jest równy \(8\), zaś siódmy wyraz tego ciągu jest równy \(14\). Dziesiąty wyraz tego ciągu jest równy:
A.\( 21 \)
B.\( 23 \)
C.\( 24 \)
D.\( 3 \)
B
Liczby \( 2,-1,-4 \) są trzema początkowymi wyrazami ciągu arytmetycznego \( (a_n) \) określonego dla liczb naturalnych \( n\ge 1 \). Wzór ogólny tego ciągu ma postać
A.\(a_n=-3n+5 \)
B.\(a_n=n-3 \)
C.\(a_n=-n+3 \)
D.\(a_n=3n-5 \)
A
Pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego jest równy \(3\), czwarty wyraz tego ciągu jest równy \(15\). Oblicz sumę sześciu początkowych wyrazów tego ciągu.
\(78\)
W ciągu arytmetycznym \((a_n)\) dane są \(a_1=2\)
i \(a_2=4\). Suma dziesięciu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa
A.\( 30 \)
B.\( 110 \)
C.\( 220 \)
D.\( 2046 \)
B
Suma dziesięciu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego \( (a_n) \) jest równa \( 35 \). Pierwszy wyraz \( a_1 \) tego ciągu jest równy \( 3 \). Wtedy
A.\(a_{10}=\frac{7}{2} \)
B.\(a_{10}=4 \)
C.\(a_{10}=\frac{32}{5} \)
D.\(a_{10}=32 \)
B
O pewnym ciągu arytmetycznym wiadomo, że ma dziesięć wyrazów. Suma jego wyrazów o numerach nieparzystych jest równa \(75\), a suma wyrazów o numerach parzystych jest równa \(90\). Wyznacz pierwszy wyraz tego ciągu.
\(a_1=3\)
Pan Jan spłacał kredyt w wysokości \(12\ 000\) zł w sześciu ratach, z których każda kolejna była o \(500\) zł mniejsza od poprzedniej. Pierwsza rata była równa:
A.\( 2750 \)zł
B.\( 3000 \)zł
C.\( 3250 \)zł
D.\( 3500 \)zł
C
Miary kątów trójkąta są trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Najmniejszy kąt tego trójkąta ma miarę \(40^\circ \). Różnica ciągu arytmetycznego wynosi:
A.\( 10^\circ \)
B.\( 20^\circ \)
C.\( 30^\circ \)
D.\( 40^\circ \)
B
W ciągu arytmetycznym \((a_n)\) dane są: \(a_3=13\)
i \(a_5=39\). Wtedy wyraz \(a_1\) jest równy
A.\( 13 \)
B.\( 0 \)
C.\( -13 \)
D.\( -26 \)
C
Miary kątów czworokąta tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy \( 20^\circ \) . Najmniejszy kąt tego czworokąta ma miarę
A.\(40^\circ \)
B.\(50^\circ \)
C.\(60^\circ \)
D.\(70^\circ \)
C
Ciąg \((9, x, 19)\) jest arytmetyczny, a ciąg \((x, 42, y, z)\) jest geometryczny. Oblicz \(x\), \(y\) oraz \(z\).
\(x=14\), \(y=126\), \(z=378\)
Liczby \(x + 1, 2x + 2, 8\) są trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Oblicz \(x\).
\(x=\frac{5}{3}\)
Liczby
\(x-1,\ 4,\ 8\) (w podanej kolejności) są pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Wówczas liczba \(x\) jest równa
A.\( 3 \)
B.\( 1 \)
C.\( -1 \)
D.\( -7 \)
B
Liczby \(2, x-3, 8\) w podanej kolejności są pierwszym, drugim i czwartym wyrazem ciągu arytmetycznego. Oblicz \(x\).
\(x=7\)
Wyrazami ciągu arytmetycznego \((a_n)\) są kolejne liczby naturalne, które przy dzieleniu przez \(5\) dają resztę \(2\). Ponadto \(a_3 = 12\). Oblicz \(a_{15}\).
\(a_{15}=72\)
Liczby
\(x, 4, x+2\) są w podanej kolejności drugim, trzecim i czwartym wyrazem ciągu arytmetycznego. Wówczas liczba \(x\) jest równa
A.\( 2 \)
B.\( 3 \)
C.\( 6 \)
D.\( 1 \)
B
Ciąg \((a_n)\) określony dla \(n\ge 1\) jest arytmetyczny oraz
\(a_3=10\) i
\(a_4=14\). Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy
A.\( a_1=-2 \)
B.\( a_1=2 \)
C.\( a_1=6 \)
D.\( a_1=12 \)
B
Liczby \(7, a, 49\) w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny. Wtedy \(a\) jest równe
A.\( 14 \)
B.\( 21 \)
C.\( 28 \)
D.\( 42 \)
C
Trzydziesty wyraz ciągu arytmetycznego \( (a_n) \) jest równy \(4\), a trzydziesty piąty wyraz tego ciągu jest równy \(7\). Wówczas różnica ciągu \( (a_n) \) jest równa
A.\( 5 \)
B.\( 3 \)
C.\( \frac{5}{3} \)
D.\( \frac{3}{5} \)
D
Liczby \(2, \log_{\frac{1}{2}}x, 8\) są (w podanej kolejności) wyrazami ciągu arytmetycznego. Wyznacz \( x \).
\(x=\frac{1}{32}\)
Miary kątów czworokąta tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy \( 20^\circ \). Największy kąt tego czworokąta ma miarę:
A.\(150^\circ \)
B.\(135^\circ \)
C.\(120^\circ \)
D.\(60^\circ \)
C
Dany jest ciąg arytmetyczny \( (a_n) \) określony dla \( n\ge 1 \), w którym \( a_5=22 \) oraz \( a_{10}=47 \). Oblicz pierwszy wyraz \( a_1 \) i różnicę \( r \) tego ciągu.
\(a_1=2\), \(r=5\)
W ciągu geometrycznym \((a_n)\) mamy \(a_3 = 5\)
i \(a_4 = 15\). Wtedy wyraz \(a_5\) jest równy.
A.\( 10 \)
B.\( 20 \)
C.\( 75 \)
D.\( 45 \)
D
Dany jest ciąg geometryczny \( (a_n) \) , w którym
\( a_1=64 \) i
\( q=-\frac{1}{2} \). Wówczas
A.\(a_5=-4 \)
B.\(a_5=4 \)
C.\(a_5=2 \)
D.\(a_5=-2 \)
B
Ciąg geometryczny \( (a_n) \) określony jest wzorem \( a_n=\frac{3^n}{4} \). Iloraz tego ciągu jest równy:
A.\(3 \)
B.\(\frac{3}{4} \)
C.\(\frac{1}{3} \)
D.\(\frac{1}{4} \)
A
Ciąg geometryczny \( (a_n) \) określony jest wzorem \( a_n=-\frac{3^n}{4} \) dla \( n\ge 1 \). Iloraz tego ciągu jest równy
A.\(-3 \)
B.\(-\frac{3}{4} \)
C.\(\frac{3}{4} \)
D.\(3 \)
D
Liczby
\(2;\ 2x-1;\ 0{,}5\) (w podanej kolejności) są pierwszym, drugim i trzecim wyrazem monotonicznego ciągu geometrycznego dla
A.\( x=0 \)
B.\( x=0 \) lub \(x=1\)
C.\( x=1 \)
D.\( x=-1 \)
C
W ciągu geometrycznym \((a_n)\) dane są: \(a_1=36\), \(a_2=18\). Wtedy
A.\( a_4=-18 \)
B.\( a_4=0 \)
C.\( a_4=4{,}5 \)
D.\( a_4=144 \)
C
Ciąg \((2\sqrt{2},4,a)\) jest geometryczny. Wówczas
A.\( a=8\sqrt{2} \)
B.\( a=4\sqrt{2} \)
C.\( a=8-2\sqrt{2} \)
D.\( a=8+2\sqrt{2} \)
B
W ciągu geometrycznym \((a_n)\) dane są: \(a_1 = 3\)
i \(a_4 = 24\). Iloraz tego ciągu jest równy
A.\( 8 \)
B.\( 2 \)
C.\( \frac{1}{8} \)
D.\( -\frac{1}{2} \)
B
Liczby \(2x, 16, x\) są trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. Oblicz \(x\).
\(x=8\sqrt{2}\) lub \(x=-8\sqrt{2}\)
Liczby
\(12, 18, 2x + 1\) są, w podanej kolejności, odpowiednio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu geometrycznego. Wynika stąd, że
A.\( x=11\frac{1}{2} \)
B.\( x=12 \)
C.\( x=12\frac{1}{2} \)
D.\( x=13 \)
D
W ciągu geometrycznym \((a_n)\) dane są
\(a_2=\frac{\sqrt{3}}{2}\) i
\(a_3=-\frac{3}{2}\). Wtedy wyraz \(a_1\) jest równy
A.\( -\frac{1}{2} \)
B.\( \frac{1}{2} \)
C.\( -\frac{\sqrt{3}}{2} \)
D.\( \frac{\sqrt{3}}{3} \)
A
Liczby \(64, x, 4\) są odpowiednio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem malejącego ciągu geometrycznego. Oblicz piąty wyraz tego ciągu.
\(a_5=\frac{1}{4}\)
Liczby
\(-8,\ 4,\ x+1\) (w podanej kolejności) są pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu geometrycznego. Wówczas liczba \(x\) jest równa.
A.\( -3 \)
B.\( -1{,}5 \)
C.\( 1 \)
D.\( 15 \)
A
W ciągu geometrycznym \((a_n)\) są dane: \(a_2=-1, q=-2\). Suma czterech kolejnych początkowych wyrazów tego ciągu jest równa
A.\( 2{,}5 \)
B.\( -7{,}5 \)
C.\( -2{,}5 \)
D.\( 7{,}5 \)
C
Ciąg
\((27, 18, x+5)\) jest geometryczny. Wtedy
A.\( x=4 \)
B.\( x=5 \)
C.\( x=7 \)
D.\( x=9 \)
C
Liczby
\(3x−4\), \(8\), \(2\) w podanej kolejności są pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu geometrycznego. Wtedy
A.\( x=-6 \)
B.\( x=0 \)
C.\( x=6 \)
D.\( x=12 \)
D
Ciąg \( (2x – 1, y, 6x + 3)\ \) jest arytmetyczny, a ciąg \( (3, y, 27)\ \) jest geometryczny rosnący. Oblicz \(x\) i \(y\).
\(x=2\), \(y=9\)
Liczby: \( x-2,\ 6,\ 12 \), w podanej kolejności, są trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. Liczba \( x \) jest równa
A.\(0 \)
B.\(2 \)
C.\(3 \)
D.\(5 \)
D
Trzy lata temu pewne miasteczko liczyło \(25\ 000\) mieszkańców. Przez trzy ostatnie lata każdego roku liczba mieszkańców zmniejszyła się o \(10\%\). Oblicz, ile osób mieszka w tym miasteczku.
\(18225\)
Suma \(S_n = a_1 + a_2 + ... + a_n\) początkowych \(n\) wyrazów pewnego ciągu arytmetycznego \((a_n)\) jest określona wzorem \(S_n = n^2 - 2n\). Wyznacz wzór na \(n\)-ty wyraz tego ciągu.
\(a_n=2n-3\)