Matura 2024 maj PR (nowa matura)

W chwili początkowej \((t=0)\) filiżanka z gorącą kawą znajduje się w pokoju, a temperatura tej kawy jest równa \(80^{\circ} \mathrm{C}\). Temperatura w pokoju (temperatura otoczenia) jest stała i równa \(20^{\circ} \mathrm{C}\). Temperatura \(T\) tej kawy zmienia się w czasie zgodnie z zależnością \[ T(t)=\left(T_{p}-T_{z}\right) \cdot k^{-t}+T_{z} \quad \text { dla } \quad t \geq 0 \] gdzie:
\(T\) - temperatura kawy wyrażona w stopniach Celsjusza,
\(t\) - czas wyrażony w minutach, liczony od chwill początkowej,
\(T_{p}\) - temperatura początkowa kawy wyrażona w stopniach Celsjusza,
\(T_{z}\) - temperatura otoczenia wyrażona w stopniach Celsjusza,
\(k\) - stała charakterystyczna dla danej ciecz.

Oblicz granicę \[ \lim _{x \rightarrow 2^{-}} \frac{x^{3}-8}{(x-2)^{2}} \] Zapisz obliczenia.

W pewnym zakładzie mleczarskim śmietana produkowana jest w 200-gramowych opakowaniach. Prawdopodobieństwo zdarzenia, że w losowo wybranym opakowaniu śmietana zawiera mniej niż \(36 \%\) tłuszczu, jest równe \(0{,}01\). Kontroli poddajemy \(10\) losowo wybranych opakowań ze śmietaną.

Funkcja \(f\) jest określona wzorem \[ f(x)=\frac{x^{3}-3 x+2}{x} \] dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) różnej od zera. W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) punkt \(P\), o pierwszej współrzędnej równej \(2\), należy do wykresu funkcji \(f\). Prosta o równaniu \(y=a x+b\) jest styczna do wykresu funkcji \(f\) w punkcie \(P\).

Wykaż, że jeżeli \(\log _{5} 4=a\) oraz \(\log _{4} 3=b\), to \(\log _{12} 80=\frac{2 a+1}{a \cdot(1+b)}\).

Rozważamy wszystkie liczby naturalne, w których zapisie dziesiętnym nie powtarza się jakakolwiek cyfra oraz dokładnie trzy cyfry są nieparzyste i dokładnie dwie cyfry są parzyste.

Trzywyrazowy ciąg \((x, y, z)\) jest geometryczny i rosnący. Suma wyrazów tego ciągu jest równa \(105\). Liczby \(x, y\) oraz \(z\) są - odpowiednio - pierwszym, drugim oraz szóstym wyrazem ciągu arytmetycznego \(\left(a_{n}\right)\), określonego dla każdej liczby naturalnej \(n \geq 1\).

Dany jest trójkąt \(A B C\), który nie jest równoramienny. W tym trójkącie miara kąta \(ABC\) jest dwa razy większa od miary kąta \(BAC\). \[ |A C|^{2}=|B C|^{2}+|A B| \cdot|B C| \]

Dany jest kwadrat \(A B C D\) o boku długości \(a\). Punkt \(E\) jest środkiem boku \(C D\). Przekątna \(B D\) dzieli trójkąt \(A C E\) na dwie figury: \(A G F\) oraz \(C E F G\) (zobacz rysunek).

Rozwiąż równanie \[ \sin (4 x)-\sin (2 x)=4 \cos ^{2} x-3 \] w zbiorze \([0,2 \pi]\). Zapisz obliczenia.

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) środek \(S\) okręgu o promieniu \(\sqrt{5}\) leży na prostej o równaniu \(y=x+1\). Przez punkt \(A=(1,2)\), którego odległość od punktu \(S\) jest większa od \(\sqrt{5}\), poprowadzono dwie proste styczne do tego okręgu w punktach - odpowiednio - \(B\) i \(C\). Pole czworokąta \(ABSC\) jest równe \(15\).

Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których równanie \[ x^{2}-(3 m+1) \cdot x+2 m^{2}+m+1=0 \] ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste \(x_{1}, x_{2}\) spełniające warunek \[ x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+3 \cdot x_{1} \cdot x_{2} \cdot\left(x_{1}+x_{2}-3\right) \leq 3 m-7 \]

Rozważamy wszystkie graniastosłupy prawidłowe trójkątne o objętości \(3456\), których krawędź podstawy ma długość nie większą niż \(8 \sqrt{3}\).

Wykaż, że pole \(P\) powierzchni całkowitej graniastosłupa w zależności od długości \(a\) krawędzi podstawy graniastosłupa jest określone wzorem \[ P(a)=\frac{a^{2} \cdot \sqrt{3}}{2}+\frac{13824 \sqrt{3}}{a} \]

Pole \(P\) powierzchni całkowitej graniastosłupa w zależności od długości a krawędzi podstawy graniastosłupa jest określone wzorem \[ P(a)=\frac{a^{2} \cdot \sqrt{3}}{2}+\frac{13824 \sqrt{3}}{a} \] dla \(a \in(0,8 \sqrt{3}]\).