Matura 2020 sierpień

Liczba \((\sqrt{5}+2\sqrt{3})^2\) jest równa

Liczba \(\sqrt[4]{9\cdot \sqrt{3}}\) można zapisać w postaci

Liczba \(2\log 5+3\log 2\) jest równa

Najmniejszą liczbą całkowitą spełniającą nierówność \(\frac{5(4-x)}{2}\lt x\) jest liczba

W zestawie \(250\) liczb występują jedynie liczby \(4\) i \(2\). Liczba \(4\) występuje \(128\) razy, a liczba \(2\) występuje \(122\) razy. Przyjęto przybliżenie średniej arytmetycznej zestawu tych wszystkich liczb do liczby \(3\). Błąd bezwzględny tego przybliżenia jest równy

Na początku miesiąca komputer kosztował \(3\ 500\) zł. W drugiej dekadzie tego miesiąca cenę komputera obniżono o \(10\%\), a w trzeciej dekadzie cena tego komputera została jeszcze raz obniżona, tym razem o \(15\%\). Innych zmian ceny lego komputera w tym miesiącu już nie było. Cena komputera na koniec miesiąca była równa

Funkcje liniowe \(f\) i \(g\) określone wzorami \(f(x) =-4x + 12\) i \(g(x) =-2x + k + 3\) mają wspólne miejsce zerowe. Stąd wynika, że

Zbiorem wartości funkcji kwadratowej \(f\) określonej wzorem \(f(x) = -(x + 9)^2 + m\) jest przedział \((-\infty , -5\rangle \). Wtedy

Osią symetrii wykresu funkcji kwadratowej \(f\) określonej wzorem \(f(x)= \frac{1}{3}x^2 + 4x + 7\) jest prosta o równaniu

Na rysunku poniżej przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej \(f\) określonej wzorem \(f(x)=ax^2+bx+c\). Stąd wynika, że

Rozwiązaniem równania \(\frac{x^2-3x}{x^2+x}=0\) jest liczba

Do okręgu o środku w punkcie \(S = (2, 4)\) należy punkt \(P = (1, 3)\). Długość tego okręgu jest równa

Prosta \(l\) jest równoległa do prostej \(y=-\frac{1}{2}x+2\). Na prostej \(l\) leży punkt \(P=(0,7)\). Zatem równanie prostej \(l\) ma postać

Punkt \(S=(4, 8)\) jest środkiem odcinka \(PQ\), którego koniec \(P\) leży na osi \(0y\), a koniec \(Q\) - na osi \(Ox\). Wynika stąd, że

Przyprostokątna \(AC\) trójkąta prostokątnego \(ABC\) ma długość \(6\), a wysokość \(CD\) dzieli go na dwa takie trójkąty \(ADC\) i \(CDB\), że pole trójkąta \(ADC\) jest \(4\) razy większe od pola trójkąta \(CDB\) (zobacz rysunek). Przyprostokątna \(BC\) trójkąta prostokątnego \(ABC\) jest równa

Punkty \(P = (-3, 4)\) i \(O = (0, 0)\) leżą na jednej prostej. Kąt \(\alpha \) jest kątem nachylenia tej prostej do osi \(Ox\) (zobacz rysunek). Wtedy tangens \(\alpha \) jest równy

Kąt \(\alpha \) jest ostry oraz \(\sin \alpha =\frac{2\sqrt{5}}{5}\). Wtedy

W ciągu arytmetycznym \((a_n)\), określonym dla każdej liczby naturalnej \(n\gt 1\), są dane dwa wyrazy: \(a_1=2\) i \(a_2=5\). Stąd wynika, że \(n\)-ty wyraz tego ciągu jest określony wzorem

Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x) =\left(\frac{1}{2}\right)^x\) dla wszystkich liczb rzeczywistych \(x\). Funkcja \(f\) dla argumentu \(x =-3\) przyjmuje wartość

Wielkości \(x\) i \(y\) są odwrotnie proporcjonalne (tabela poniżej).

\(x\)	\(a\)	\(3\)	\(8\)
\(y\)	\(36\)	\(24\)	\(b\)

Stąd wynika, że

W prostokątnym układzie współrzędnych na płaszczyźnie parę prostych prostopadłych opisują równania

Dane są punkty \(A = (4,1)\), \(B = (1,3)\), \(C = (4,-1)\). Pole trójkąta \(ABC\) jest równe

Ile jest wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych mniejszych od \(2020\) i podzielnych przez \(4\)?

Dane są graniastosłup i ostrosłup o takich samych podstawach. Liczba wszystkich wierzchołków tego graniastosłupa jest o \(9\) większa od liczby wszystkich wierzchołków tego ostrosłupa. Podstawą każdej z tych brył jest

Pole powierzchni całkowitej sześcianu jest równe \(12\). Suma długości wszystkich krawędzi tego sześcianu jest równa

Rozwiąż nierówność: \(-2x^2+5x+3 \le0\).

Dany jest trzywyrazowy ciąg \((x + 2,\ 4x + 2,\ x + 11)\). Oblicz wszystkie wartości \(x\), dla których ten ciąg jest geometryczny.

Wykaż, że dla dowolnych różnych liczb rzeczywistych \(a\) i \(b\) prawdziwa jest nierówność \[a(a + b) + b^2 \gt 3ab\]

Dwa okręgi o promieniach \(r = 2\) i \(R = 6\) są styczne zewnętrznie i są styczne do wspólnej prostej \(k\). Wykaż, że prosta \(l\) przechodząca przez środki \(S\) i \(P\) tych okręgów przecina prostą \(k\) pod kątem \(\alpha = 30^\circ \) (zobacz rysunek).

Rozwiąż równanie \((x^3+8)(x^2-9)=0\)

W pudełku jest \(8\) kul, z czego \(5\) białych i \(3\) czarne. Do tego pudełka dołożono \(n\) kul białych. Doświadczenie polega na losowaniu jednej kuli z tego pudełka. Prawdopodobieństwo, że będzie to kula biała, jest równe \(\frac{11}{12}\). Oblicz \(n\)?

Dany jest trójkąt równoramienny \(ABC\), w którym podstawa \(AB\) ma długość \(12\), a każde z ramion \(AC\) i \(BC\) ma długość równą \(10\). Punkt \(D\) jest środkiem ramienia \(BC\) (zobacz rysunek). Oblicz sinus kąta \(\alpha \), jaki środkowa \(AD\) tworzy z ramieniem \(AC\) trójkąta \(ABC\).

Pole powierzchni bocznej stożka jest trzy razy większe od pola jego podstawy. Wysokość tego stożka jest równa \(12\). Oblicz objętość tego stożka.

Prosta o równaniu \(y = -2x + 7\) jest symetralną odcinka \(PQ\), gdzie \(P = (4,5)\). Oblicz współrzędne punktu \(Q\).