Matura 2020 czerwiec PR

Wielomian \(W\) określony wzorem \(W(x)=x^{2019}-3x^{2000}+2x+6\)

Ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem \(a_n=\frac{3n^2+7n-5}{11-5n+5n^2}\) dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\). Granica tego ciągu jest równa

Mamy dwie urny. W pierwszej są \(3\) kule białe i \(7\) kul czarnych, w drugiej jest jedna kula biała i \(9\) kul czarnych. Rzucamy symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek, od jednego oczka do sześciu oczek. Jeśli w wyniku rzutu otrzymamy ściankę z jednym oczkiem, to losujemy jedną kulę z pierwszej urny, w przeciwnym przypadku – losujemy jedną kulę z drugiej urny. Wtedy prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej jest równe

Po przekształceniu wyrażenia algebraicznego \((x\sqrt{2}+y\sqrt{3})^4\) do postaci \(ax^4+bx^3y+cx^2y^2+dxy^3+ey^4\) współczynnik \(c\) jest równy

W trójkącie \(ABC\) bok \(AB\) jest \(3\) razy dłuższy od boku \(AC\), a długość boku \(BC\) stanowi \(\frac{4}{5}\) długości boku \(AB\). Oblicz cosinus najmniejszego kąta trójkąta \(ABC\). W kratki poniżej wpisz kolejno – od lewej do prawej – pierwszą, drugą oraz trzecią cyfrę po przecinku nieskończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

Wyznacz wszystkie wartości parametru \(a\), dla których równanie \(|x-5|=(a-1)^2-4\) ma dwa różne rozwiązania dodatnie.

Dany jest trójkąt równoramienny \(ABC\), w którym \(|AC|=|BC|=6\), a punkt \(D\) jest środkiem podstawy \(AB\). Okrąg o środku \(D\) jest styczny do prostej \(AC\) w punkcie \(M\). Punkt \(K\) leży na boku \(AC\), punkt \(L\) leży na boku \(BC\), odcinek \(KL\) jest styczny do rozważanego okręgu oraz \(|KC|=|LC|=2\) (zobacz rysunek). Wykaż, że \(\frac{|AM|}{|MC|}=\frac{4}{5}\).

Liczby dodatnie \(a\) i \(b\) spełniają równość \(a^2+2a=4b^2+4b\). Wykaż, że \(a=2b\).

Rozwiąż równanie \(3\cos 2x+10\cos^{2} x=24\sin x-3\) dla \(x\in \langle 0;2\pi \rangle \).

W trzywyrazowym ciągu geometrycznym \((a_1, a_2, a_3)\), spełniona jest równość \(a_1+a_2+a_3=\frac{21}{4}\). Wyrazy \(a_1, a_2, a_3\) są – odpowiednio – czwartym, drugim i pierwszym wyrazem rosnącego ciągu arytmetycznego. Oblicz \(a_1\).

Dane jest równanie kwadratowe \(x^2-(3m+2)x+2m^2+7m-15=0\) z niewiadomą \(x\). Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których różne rozwiązania \(x_1\) i \(x_2\) tego równania istnieją i spełniają warunek \[2x_1^2+5x_1x_2+2x_2^2=2\]

Prosta o równaniu \(x+y-10=0\) przecina okrąg o równaniu \(x^2+y^2-8x-6y+8=0\) w punktach \(K\) i \(L\). Punkt \(S\) jest środkiem cięciwy \(KL\). Wyznacz równanie obrazu tego okręgu w jednokładności o środku \(S\) i skali \(k = −3\).

Oblicz, ile jest wszystkich siedmiocyfrowych liczb naturalnych, w których zapisie dziesiętnym występują dokładnie trzy cyfry \(1\) i dokładnie dwie cyfry \(2\).

Podstawą ostrosłupa czworokątnego \(ABCDS\) jest trapez \(ABCD\) (\(AB||CD\)). Ramiona tego trapezu mają długości \(AD=10\) i \(BC=16\), a miara kąta \(ABC\) jest równa \(30^\circ \). Każda ściana boczna tego ostrosłupa tworzy z płaszczyzną podstawy kąt \(\alpha \), taki, że \(\operatorname{tg} \alpha =\frac{9}{2}\). Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Należy zaprojektować wymiary prostokątnego ekranu smartfona, tak aby odległości tego ekranu od krótszych brzegów smartfona były równe \(0{,}5\) cm każda, a odległości tego ekranu od dłuższych brzegów smartfona były równe \(0{,}3\) cm każda (zobacz rysunek – ekran zaznaczono kolorem szarym). Sam ekran ma mieć powierzchnię \(60\ \text{cm}^2\). Wyznacz takie wymiary ekranu smartfona, przy których powierzchnia ekranu wraz z obramowaniem jest najmniejsza.