Matura 2018 maj

Liczba \(2\log_36-\log_34\) jest równa

Liczba \(\sqrt[3]{\frac{7}{3}}\cdot \sqrt[3]{\frac{81}{56}}\) jest równa

Dane są liczby \(a=3{,}6\cdot 10^{-12}\) oraz \(b=2{,}4\cdot 10^{-20}\). Wtedy iloraz \(\frac{a}{b}\) jest równy

Cena roweru po obniżce o \(15\%\) była równa \(850\) zł. Przed obniżką ten rower kosztował

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności \(\frac{1-2x}{2}\gt \frac{1}{3}\) jest przedział

Funkcja kwadratowa jest określona wzorem \(f(x) = -2(x+3)(x-5)\). Liczby \(x_1\), \(x_2\) są różnymi miejscami zerowymi funkcji \(f\). Zatem

Równanie \(\frac{x^2 + 2x}{x^2 - 4} = 0\)

Funkcja liniowa \(f\) określona jest wzorem \(f(x) = \frac{1}{3}x - 1\), dla wszystkich liczb rzeczywistych \(x\). Wskaż zdanie prawdziwe.

Wykresem funkcji kwadratowej \(f(x) = x^2 - 6x - 3\) jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt o współrzędnych

Liczba \(1\) jest miejscem zerowym funkcji liniowej \(f(x) = ax + b\), a punkt \(M = (3, -2)\) należy do wykresu tej funkcji. Współczynnik \(a\) we wzorze tej funkcji jest równy

Dany jest ciąg \((a_n)\) określony wzorem \(a_n = \frac{5 - 2n}{6}\) dla \(n\ge 1\). Ciąg ten jest

Dla ciągu arytmetycznego \((a_n)\), określonego dla \(n\ge1\), jest spełniony warunek \(a_4 + a_5 + a_6 = 12\). Wtedy

Dany jest ciąg geometryczny \((a_n)\), określony dla \(n\ge1\), w którym \(a_1 = \sqrt{2}\), \(a_2 = 2\sqrt{2}\), \(a_3 = 4\sqrt{2}\). Wzór na \(n\)-ty wyraz tego ciągu ma postać

Przyprostokątna \(LM\) trójkąta prostokątnego \(KLM\) ma długość \(3\), a przeciwprostokątna \(KL\) ma długość \(8\) (zobacz rysunek).

Wtedy miara \(α\) kąta ostrego \(LKM\) tego trójkąta spełnia warunek

Dany jest trójkąt o bokach długości: \(2\sqrt{5}\), \(3\sqrt{5}\), \(4\sqrt{5}\). Trójkątem podobnym do tego trójkąta jest trójkąt, którego boki mają długości

Dany jest okrąg o środku \(S\). Punkty \(K\), \(L\) i \(M\) leżą na tym okręgu. Na łuku \(KL\) tego okręgu są oparte kąty \(KSL\) i \(KML\) (zobacz rysunek), których miary \(α\) i \(β\) spełniają warunek \(α + β = 111^\circ\). Wynika stąd, że

Dany jest trapez prostokątny \(KLMN\), którego podstawy mają długości \(|KL| = a\), \(|MN| = b\), \(a\gt b\). Kąt \(KLM\) ma miarę \(60^\circ\). Długość ramienia \(LM\) tego trapezu jest równa

Punkt \(K = (2, 2)\) jest wierzchołkiem trójkąta równoramiennego \(KLM\), w którym \(|KM| = |LM|\). Odcinek \(MN\) jest wysokością trójkąta i \(N = (4, 3).\) Zatem

Proste o równaniach \(y = (m + 2)x + 3\) oraz \(y = (2m - 1)x - 3\) są równoległe, gdy

Podstawą ostrosłupa jest kwadrat \(KLMN\) o boku długości \(4\). Wysokością tego ostrosłupa jest krawędź \(NS\), a jej długość też jest równa \(4\) (zobacz rysunek).

Kąt \(α\), jaki tworzą krawędzie \(KS\) i \(MS\), spełnia warunek

Podstawą graniastosłupa prostego jest prostokąt o bokach długości \(3\) i \(4\). Kąt \(α\), jaki przekątna tego graniastosłupa tworzy z jego podstawą, jest równy \(45^\circ\) (zobacz rysunek).

Wysokość graniastosłupa jest równa

Na rysunku przedstawiono bryłę zbudowaną z walca i półkuli. Wysokość walca jest równa \(r\) i jest taka sama jak promień półkuli oraz taka sama jak promień podstawy walca.

Objętość tej bryły jest równa

W zestawie \(\underbrace{2,2,2,...,2}_{m \text{ liczb}}, \underbrace{4,4,4,...,4}_{m \text{ liczb}}\) jest \(2m\) liczb \((m\ge1)\), w tym \(m\) liczb \(2\) i \(m\) liczb \(4\).

Odchylenie standardowe tego zestawu liczb jest równe

Ile jest wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych mniejszych od \(2018\) i podzielnych przez \(5\)?

W pudełku jest \(50\) kuponów, wśród których jest \(15\) kuponów przegrywających, a pozostałe kupony są wygrywające. Z tego pudełka w sposób losowy wyciągamy jeden kupon. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wyciągniemy kupon wygrywający, jest równe

Rozwiąż nierówność \(2x^2 - 3x \gt 5\).

Rozwiąż równanie \(\bigl(x^3 + 125 \bigl)\bigl(x^2 - 64\bigl) = 0\).

Udowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich \(a\), \(b\) prawdziwa jest nierówność \(\frac{1}{2a} + \frac{1}{2b} \ge \frac{2}{a + b}\).

Okręgi o środkach odpowiednio \(A\) i \(B\) są styczne zewnętrznie i każdy z nich jest styczny do obu ramion danego kąta prostego (zobacz rysunek). Promień okręgu o środku \(A\) jest równy \(2\).

Uzasadnij, że promień okręgu o środku \(B\) jest mniejszy od \(\sqrt{2} - 1\).

Do wykresu funkcji wykładniczej, określonej dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) wzorem \(f(x) = a^x\) (gdzie \(a \gt 0\) i \(a \ne 1\)), należy punkt \(P = (2, 9)\). Oblicz \(a\) i zapisz zbiór wartości funkcji \(g\), określonej wzorem \(g(x) = f(x) - 2\).

Dwunasty wyraz ciągu arytmetycznego \((a_n)\), określonego dla \(n \ge 1\), jest równy \(30\), a suma jego dwunastu początkowych wyrazów jest równa \(162\). Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.

W układzie współrzędnych punkty \(A = (4,3)\) i \(B = (10, 5)\) są wierzchołkami trójkąta \(ABC\). Wierzchołek \(C\) leży na prostej o równaniu \(y = 2x + 3\). Oblicz współrzędne punktu \(C\), dla którego kąt \(ABC\) jest prosty.

Dane są dwa zbiory: \(A = \{100, 200, 300, 400, 500, 600, 700\}\) i \(B = \{10, 11, 12, 13, 14, 15, 16\}\). Z każdego z nich losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że suma wylosowanych liczb będzie podzielna przez \(3\). Obliczone prawdopodobieństwo zapisz w postaci nieskracalnego ułamka zwykłego.

Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny (zobacz rysunek). Pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe \(45\sqrt{3}\). Pole podstawy graniastosłupa jest równe polu jednej ściany bocznej. Oblicz objętość tego graniastosłupa.