Matura 2018 maj PR

Dane są liczby \(a=\frac{\sqrt[4]{8}}{2}\), \(b=\frac{1}{2\sqrt[4]{8}}\), \(c=\sqrt[4]{8}\), \(d=\frac{2}{\sqrt[4]{8}}\) oraz \(k=2^{-\frac{1}{4}}\). Prawdziwa jest równość

Równanie \( \Bigl ||x|-2 \Bigl |=|x|+2\)

Wartość wyrażenia \(2\log_5 10 - \frac{1}{\log_{20} 5}\) jest równa

Granica \(\lim_{x \to 3^-} \frac{-x + 2}{x^2 - 5x + 6}\) jest równa

Punkt \(A = (−5,3)\) jest środkiem symetrii wykresu funkcji homograficznej określonej wzorem \(f(x) = \frac{ax + 7}{x + d}\), gdy \(x \ne -d\). Oblicz iloraz \(\frac{d}{a}\). W poniższe kratki wpisz kolejno cyfrę jedności i pierwsze dwie cyfry po przecinku nieskończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

Styczna do paraboli o równaniu \(y = \sqrt{3}x^2 - 1\) w punkcie \(P = (x_0, y_0)\) jest nachylona do osi \(Ox\) pod kątem \(30^\circ\). Oblicz współrzędne punktu \(P\).

Trójkąt \(ABC\) jest ostrokątny oraz \(|AC| \gt | BC|\). Dwusieczna \(d_C\) kąta \(ACB\) przecina bok \(AB\) w punkcie \(K\). Punkt \(L\) jest obrazem punktu \(K\) w symetrii osiowej względem dwusiecznej \(d_A\) kąta \(BAC\), punkt \(M\) jest obrazem punktu \(L\) w symetrii osiowej względem dwusiecznej \(d_C\) kąta \(ACB\), a punkt \(N\) jest obrazem punktu \(M\) w symetrii osiowej względem dwusiecznej \(d_B\) kąta \(ABC\) (zobacz rysunek). Udowodnij, że na czworokącie \(KNML\) można opisać okrąg.

Udowodnij, że dla każdej liczby całkowitej \(k\) i dla każdej liczby całkowitej \(m\) liczba \(k^3m − km^3\) jest podzielna przez \(6\).

Z liczb ośmioelementowego zbioru \(Z = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9\}\) tworzymy ośmiowyrazowy ciąg, którego wyrazy się nie powtarzają. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że żadne dwie liczby parzyste nie są sąsiednimi wyrazami utworzonego ciągu. Wynik przedstaw w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego.

Objętość stożka ściętego (przedstawionego na rysunku) można obliczyć ze wzoru \(V = \frac{1}{3} \pi H (r^2 + rR + R^2)\), gdzie \(r\) i \(R\) są promieniami podstaw (\(r \lt R\)), a \(H\) jest wysokością bryły. Dany jest stożek ścięty, którego wysokość jest równa \(10\), objętość \(840\pi\), a \(r = 6\). Oblicz cosinus kąta nachylenia przekątnej przekroju osiowego tej bryły do jednej z jej podstaw.

Rozwiąż równanie \(\sin6x + \cos3x = 2\sin3x + 1\) w przedziale \(\langle 0, \pi \rangle\).

Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których równanie \(x^2 + (m + 1)x − m^2 + 1 = 0\) ma dwa rozwiązania rzeczywiste \(x_1\) i \(x_2\) (\(x_1 \ne x_2\)), spełniające warunek \(x_1^3 + x_2^3 \gt -7x_1x_2\).

Wyrazy ciągu geometrycznego (\(a_n\)), określonego dla \(n \ge 1\), spełniają układ równań \[\begin{cases} a_3 + a_6 = -84 \\ a_4 + a_7 = 168 \end{cases} \] Wyznacz liczbę \(n\) początkowych wyrazów tego ciągu, których suma \(S_n\) jest równa \(32769\).

Punkt \(A = (7, −1)\) jest wierzchołkiem trójkąta równoramiennego \(ABC\), w którym \(|AC| = |BC|\). Obie współrzędne wierzchołka \(C\) są liczbami ujemnymi. Okrąg wpisany w trójkąt \(ABC\) ma równanie \(x^2 + y^2 = 10\). Oblicz współrzędne wierzchołków \(B\) i \(C\) tego trójkąta.

Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne, w które można wpisać okrąg, spełniające warunek: suma długości dłuższej podstawy \(a\) i wysokości trapezu jest równa \(2\).