Matura 2012 marzec 9

Wskaż nierówność, którą spełnia liczba \(5\sqrt{3}\)

Gdy \(a+b=10\), to wówczas wartość wyrażenia \(\frac{2a^2+4ab+2b^2}{(a+b)^3}\) jest równa

Cena kurtki po dwóch kolejnych obniżkach, za każdym razem o \(10\%\) jest równa \(202\) zł \(50\) gr. Przed obniżkami cena tej kurtki była równa

Liczba \(128^{-4}:\left ( \frac{1}{32} \right )^4\) jest równa

Liczba \(2\log_3 27 - \log_2 16\) jest równa

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności \(x\sqrt{3}+4\ge 2x+\sqrt{12}\) jest przedział

Liczba wszystkich rozwiązań równania \((2x-3)(x^2-x)=0\) jest równa

Miejscem zerowym funkcji liniowej \(f(x)=-2x+m+7\) jest liczba \(3\). Wynika stąd, że

Dla każdego \(x\ne 2\) wyrażenie \(\frac{x-1}{3x-6}-\frac{2}{x-2}\) jest równe

Liczby \(12, 18, 2x + 1\) są, w podanej kolejności, odpowiednio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu geometrycznego. Wynika stąd, że

W ciągu arytmetycznym \((a_n)\) dane są \(a_1=2\) i \(a_2=4\). Suma dziesięciu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa

Kąt \(\alpha \) jest ostry i \(\sin \alpha =0{,}6\). Wówczas

Proste o równaniach \(y=2x-5\) i \(y=(3-m)x+4\) są równoległe. Wynika stąd, że

Proste \(AD\) i \(BC\) są równoległe. Długości odcinków \(ED\), \(DC\) oraz \(AB\) podane są na rysunku. Długość odcinka \(EA\) jest równa

Rysunek przedstawia trapez prostokątny i długości trzech jego boków. Obwód tego trapezu jest równy

Objętość sześcianu jest równa \(27\). Długość przekątnej tego sześcianu jest równa

Bok rombu ma długość \(8\), a kąt ostry ma miarę \(60^\circ \). Wysokość tego rombu jest więc równa

Punkty \(A, B, C, D\) i \(E\) leżą na okręgu o środku \(S\) i dzielą ten okrąg na pięć łuków równej długości (zobacz rysunek). Wówczas miara kąta ostrego \(\alpha \) między cięciwą \(AB\) i styczną do tego okręgu w punkcie \(A\) jest równa

Tabela przedstawia zestawienie liczby błędów popełnionych przez zdających część teoretyczną egzaminu na prawo jazdy.

Liczba błędów	\(0\)	\(1\)	\(2\)	\(x\)
Liczba zdających	\(8\)	\(4\)	\(10\)	\(8\)

Średnia arytmetyczna liczby tych błędów popełnionych przez jednego zdającego jest równa \(1{,}6\). Wynika stąd, że

O zdarzeniach \(A\) oraz \(B\) zawartych w \(\Omega \) wiadomo, że \(P(A)=\frac{5}{6}, P(B)=\frac{2}{3}\) i \(A\cup B\) jest zdarzeniem pewnym. Wtedy

Rozwiąż nierówność \(-2x^2+3x+2\le 0\) .

Oblicz największą wartość funkcji \(f(x)=-2x^2+16x-15\) w przedziale \(\langle -2,3 \rangle\).

Powierzchnia boczna stożka po rozwinięciu na płaszczyznę jest ćwiartką koła o promieniu \(8\) cm. Oblicz wysokość tego stożka.

Ciąg \((a_n)\) jest określony dla \(n\ge 1\) wzorem \(a_n=-n^2-4\sqrt{3}\) . Sprawdź którym wyrazem tego ciągu jest liczba \(-3^2-(2+\sqrt{3})^2\).

Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych \(x,y,z\) takich, że \(x+y+z=3\) prawdziwa jest nierówność: \(x^2+y^2+z^2\ge 3\).

Wykaż, że jeżeli ramiona \(AD\) i \(BC\) trapezu \(ABCD\) o podstawach \(AB\) i \(CD\) zawierają się w prostych prostopadłych (zobacz rysunek), to \(|AB|^2 + |CD|^2 = |AC|^2 + |BD|^2\).

Ze zbioru wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że otrzymamy liczbę spełniającą jednocześnie trzy następujące warunki:
  (1) liczba jest podzielna przez 25,
  (2) cyfry dziesiątek i setek są nieparzyste,
  (3) cyfra dziesiątek jest nie większa niż cyfra setek.

Prostokątny pas wykładziny dywanowej o wymiarach \(3{,}6\) m na \(7{,}5\) m należy przeciąć prostopadle do dłuższego boku tak, aby przekątne otrzymanych dwóch prostokątnych kawałków różniły się o \(1{,}5\) m. Oblicz wymiary większego z otrzymanych kawałków.

Prosta o równaniu \(y = x + 2\) przecina okrąg o równaniu \((x - 3)^2 + (y - 5)^2 = 25\) w punktach \(A\) i \(B\). Oblicz współrzędne punktów \(A\) i \(B\) oraz wyznacz równanie stycznej do danego okręgu przechodzącej przez jeden z tych punktów.

Podstawą ostrosłupa \(ABCDS\) jest kwadrat \(ABCD\). Wysokość \(SE\) ściany bocznej \(ADS\) jest jednocześnie wysokością ostrosłupa, a punkt \(E\) jest środkiem krawędzi \(AD\) (zobacz rysunek). Pole ściany \(ADS\) jest równe \(12\) cm², a objętość ostrosłupa jest równa \(48\) cm³. Oblicz miarę kąta nachylenia krawędzi bocznej \(CS\) do płaszczyzny podstawy ostrosłupa. Wynik zaokrąglij do \(1^\circ \).