Poziom podstawowy
Twierdzenie
Jeżeli \(a\) i \(b\) są liczbami dodatnimi oraz \(a \ne 0\), to dla dowolnego \(n\in \mathbb{R} \): \[\log_ab^n=n\cdot \log_ab\] Dowód: Załóżmy, że \(\log_ab=c\). Wówczas mamy: \[a^c=b\] Możemy podnieść obie strony równania do potęgi \(n\): \[a^{nc}=b^n\] Teraz zapisujemy równanie w postaci logarytmicznej korzystając z definicji logarytmu: \[\log_ab^n=nc\] Skoro \(\log_ab=c\), zatem mamy: \[\log_ab^n=n\cdot \log_ab\] Co kończy dowód.
Oblicz \(\log_2\left(x^5\right)\) wiedząc, że \(\log_2x=3\).
\[\log_2x^5=5\cdot \log_2x = 5\cdot 3=15\]
Oblicz \(\log \left(\frac{1}{x^3}\right)\) wiedząc, że \(\log x=\frac{5}{2}\).
\[\log \left(\frac{1}{x^3}\right)=\log \left(x^{-3}\right)= -3\cdot \log x = -3\cdot \frac{5}{2}=-\frac{15}{2}\]
\[\begin{split}\log \left(\frac{1}{x^3}\right)&=\log \left(x^{-3}\right)=-3\cdot \log x =\\[6pt] &= -3\cdot \frac{5}{2}=-\frac{15}{2}\end{split}\]
Przedstaw wyrażenie \(\log_2x^5+3\log_2x\) w postaci logarytmu pewnej liczby.
\[\log_2x^5+3\log_2x=5\log_2x+3\log_2x=8\log_2x=\log_2x^8\]
\[\begin{split}\log_2x^5+3\log_2x&=5\log_2x+3\log_2x=\\[6pt] &=8\log_2x=\log_2x^8\end{split}\]
Przedstaw wyrażenie \(\log \sqrt{x}-\frac{1}{3}\log x\) w postaci logarytmu pewnej liczby.
Liczbę \(\log \sqrt{x}\) można zapisać tak: \(\log x^{\frac{1}{2}}\), zatem:
\[\log x^{\frac{1}{2}}-\frac{1}{3}\log x=\frac{1}{2}\log x-\frac{1}{3}\log x=\frac{1}{6}\log x=\log x^{\frac{1}{6}}\]
\[\begin{split}\log x^{\frac{1}{2}}-\frac{1}{3}\log x&=\frac{1}{2}\log x-\frac{1}{3}\log x=\\[6pt] &=\frac{1}{6}\log x=\log x^{\frac{1}{6}}\end{split}\]
Przedstaw wyrażenie \(\frac{1}{3}\log_3x-\log_3y\) w postaci logarytmu pewnej liczby.
\[\frac{1}{3}\log_3x-\log_3y=\log_3x^{\frac{1}{3}}-\log_3y=\log_3\frac{x^{\frac{1}{3}}}{y}\]
\[\begin{split}\frac{1}{3}\log_3x-\log_3y&=\log_3x^{\frac{1}{3}}-\log_3y=\\[6pt] &=\log_3\frac{x^{\frac{1}{3}}}{y}=\log_3\frac{\sqrt[3]{x}}{y}\end{split}\]
Poziom rozszerzony
Jeżeli potęga występuje w podstawie logarytmu, to możne być przydatny następujący wzór.
Twierdzenie
Jeżeli \(a\) i \(b\) są liczbami dodatnimi oraz \(a \ne 0\), to dla dowolnego \(n \ne 0\): \[\log_{a^{n}}b=\frac{1}{n}\cdot \log_ab\] Dowód - I Sposób: Załóżmy, że \(\log_ab=c\). Wówczas mamy: \[a^c=b\] Podnosimy obie strony równania do potęgi \(n\): \[ a^{nc}=b^n\\[6pt] (a^n)^c=b^n \] Zapisujemy równanie w postaci logarytmicznej: \[\log_{a^n}b^n=c\] Korzystając z poprzedniego wzoru, mamy: \[n\log_{a^n}b=c\] Czyli: \[\log_{a^n}b=\frac{1}{n}c\] Korzystamy z założenia: \(\log_ab=c\) i otrzymujemy: \[\log_{a^n}b=\frac{1}{n}\cdot \log_ab \ _\blacksquare\]
Dowód - II Sposób: Korzystamy ze wzoru na zamianę podstaw logarytmów, czyli: \(\log_ab=\frac{\log_cb}{\log_ca}\).
Otrzymujemy: \[\log_{a^n}b=\frac{\log_ab}{\log_aa^n}=\frac{\log_ab}{n}=\frac{1}{n}\log_ab \ _\blacksquare\]
Oblicz \(\log_{\sqrt[3]{2}}x\) wiedząc, że \(\log_2x=3\).
\[\log_{\sqrt[3]{2}}x=\log_{2^{\frac{1}{3}}}x=3\cdot \log_2x = 3\cdot 3=9\]