Poziom studiów
Niech będzie dany szereg: \[\sum_{n=1}^{\infty }a_n \] Rozważmy ciąg o wyrazach \(\sqrt[n]{a_n}\).
Wówczas:
- jeżeli \(\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} \lt 1\), to szereg jest zbieżny.
- jeżeli \(\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} \gt 1\), to szereg jest rozbieżny.
- jeżeli \(\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = 1\), to kryterium nie rozstrzyga zbieżności szeregu.
Dodatkowo mamy rozszerzenie kryterium Cauchy'ego:
- jeżeli od pewnego momentu \(\sqrt[n]{a_n}\ge 1\), to szereg jest rozbieżny.
Kryterium Cauchy'ego często wykorzystuje się podczas badania zbieżności szeregów, we wzorach których występują potęgi \(n\)-tego stopnia.
Zbadaj zbieżność szeregu \(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2}{\left (3+\frac{1}{n} \right )^n} \)