Poziom rozszerzony
Definicja
Kombinacja - to każdy \(k\)-elementowy podzbiór \(n\)-elementowego zbioru. Twierdzenie
Liczba wszystkich \(k\)-elementowych kombinacji zbioru \(n\)-elementowego wynosi: \[C^k_n=\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}\] Zatem liczbę kombinacji najprościej liczymy i zapisujemy za pomocą Symbolu Newtona \(\binom{n}{k}\).
Na ile sposobów można wybrać \(2\) osoby w klasie \(30\) osobowej?
\[\binom{30}{2} =\frac{30!}{2!(30-2)!}=\frac{30!}{2\cdot 28!}=\frac{29\cdot 30}{2}=15\cdot 29=435\] Odpowiedź: Dwie osoby można wybrać w klasie \(30\) osobowej na \(435\) sposobów.
Na ile sposobów można wybrać \(3\) zawodników w drużynie \(12\) osobowej?
\[\binom{12}{3} =\frac{12!}{3!(12-3)!}=\frac{12!}{6\cdot 9!}=\frac{10\cdot 11\cdot 12}{6}=10\cdot 11\cdot 2=220\] Odpowiedź: Trzech zawodników w drużynie \(12\) osobowej można wybrać na \(220\) sposobów.
W szufladzie znajduje się \(10\) par rękawiczek, każda para jest innego koloru. Na ile sposobów można wyciągnąć z szuflady \(4\) rękawiczki, aby wśród nich nie było żadnej pary.
Najpierw musimy wybrać kolory rękawiczek, które będziemy wyciągać. Ponieważ nie chcemy, aby była jakakolwiek para, musimy wybrać \(4\) różne kolory z \(10\) dostępnych. Możemy to zrobić na: \[ \binom{10}{4}=\frac{10!}{4!\cdot 6!}=210 \text { sposobów. } \] Teraz dla każdego z wybranych \(4\) kolorów możemy wybrać albo rękawiczkę lewą, albo prawą, zatem mamy \(2\) możliwości. Czyli dla 4 kolorów możemy wybrać rękawiczki na: \[ 2 \cdot 2 \cdot 2\cdot 2=2^4=16 \text { sposobów. } \] Całkowita liczba sposobów na wyciągnięcie \(4\) rękawiczek, tak aby żadna para nie była kompletna, to iloczyn liczby sposobów na wybór kolorów oraz liczby sposobów na wybór rękawiczek (lewej lub prawej) dla każdego koloru: \[ 210 \cdot 16=3360 \] Odpowiedź: Rękawiczki można wyciągnąć na \(3360\) sposobów, aby wśród nich nie było żadnej pary.
W konkursie kulinarnym wzięło udział \(12\) par małżeńskich. Do drugiego etapu indywidualnego jury wybrało \(8\) osób. Oblicz ile jest możliwych takich wyborów, jeśli wśród wybranych osób jest tylko jedna para małżeńska.
Z \(12\) dostępnych par małżeńskich musimy wybrać dokładnie jedną parę, która znajdzie się w wybranej grupie \(8\) osób. Można to zrobić na tyle sposobów: \[ \binom{12}{1}=12 \] Kolejne \(6\) osób należy wybrać z pozostałych \(22\) osób (\(24\) osoby minus \(2\) osoby wybrane jako para), przy czym każda z tych \(6\) osób pochodzi z innej pary (żeby nie wybrać kolejnej pary).
Z \(11\) pozostałych par, musimy wybrać \(6\) osób. Dla każdej z tych \(11\) par mamy dwie możliwości: możemy wybrać męża albo żonę.
Najpierw wybieramy \(6\) par spośród \(11\) dostępnych, co można zrobić na tyle sposobów: \[ \binom{11}{6}=\frac{11!}{6!\cdot 5!}=462 \] Następnie dla każdej tak wybranej pary decydujemy czy wybieramy męża czy żonę. Dla każdej pary możemy to zrobić na \(2\) sposoby, czyli łącznie mamy: \[ 2^6=64 \text { sposoby } \] Całkowita liczba sposobów na wybranie \(8\) osób, wśród których znajduje się dokładnie jedna para małżeńska, to iloczyn liczby sposobów na wybór tej jednej pary, liczby sposobów na wybór \(6\) pozostałych par oraz liczby sposobów na wybór jednej osoby z każdej z tych \(6\) par: \[ 12 \cdot 462 \cdot 64=354\ 816 \] Odpowiedź: Osoby można wybrać na \(354\ 816\) sposoby.
Na jednej prostej zaznaczono \(3\) punkty, a na drugiej \(4\) punkty. Ile jest wszystkich trójkątów, których wierzchołkami są trzy spośród zaznaczonych punktów?
\(30\)
W pewnym sklepie jest \(12\) chlebów zwykłych i 4 razowe. Na ile sposobów można wybrać \(3\) chleby, gdy jeden z nich ma być razowy?
Dane są dwa pojemniki. W pierwszym z nich znajduje się \(9\) kul: \(4\) białe, \(3\) czarne i \(2\) zielone. W drugim pojemniku jest \(6\) kul: \(2\) białe, \(3\) czarne i \(1\) zielona. Z każdego pojemnika losujemy po jednej kuli. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania dwóch kul tego samego koloru.
\(\frac{19}{54}\)
Dane są dwa pojemniki. W pierwszym z nich znajduje się \(9\) kul: \(4\) białe, \(3\) czarne i \(2\) zielone. W drugim pojemniku jest \(6\) kul: \(2\) białe, \(3\) czarne i \(1\) zielona. Z każdego pojemnika losujemy po jednej kuli. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania dwóch kul różnych kolorów.
\(\frac{35}{54}\)
Dane są dwa pojemniki. W pierwszym z nich znajduje się \(11\) kul: \(7\) białych i \(4\) czarne. W drugim pojemniku jest \(6\) kul: \(3\) białe i \(3\) czarne. Z każdego pojemnika losujemy po dwie kule. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania czterech kul czarnych.
\(\frac{18}{825}\)
Każdy uczestnik spotkania dwunastoosobowej grupy przyjaciół uścisnął dłoń każdemu z pozostałych członków tej grupy. Liczba wszystkich uścisków dłoni była równa
A.\( 66 \)
B.\( 72 \)
C.\( 132 \)
D.\( 144 \)
A
W partii \(40\) monitorów komputerowych \(4\) są uszkodzone. Wybieramy \(3\) monitory. Na ile sposobów można dokonać takiego wyboru, aby:
- żaden z wybranych monitorów nie był uszkodzony,
- co najwyżej jeden z wybranych monitorów był uszkodzony?