Jedynka trygonometryczna oraz wzory na tangens i cotangens

Drukuj

Poziom podstawowy

Jedynka trygonometryczna

Dla dowolnego kąta \(\alpha \) zachodzi: \[\sin^2 \!\alpha +\cos^2 \!\alpha =1\]

Dowód jedynki trygonometrycznej dla kąta ostrego w trójkącie prostokątnym

Weźmy dowolny trójkąt prostokątny i zaznaczmy w nim kąt ostry \(\alpha \).

Z definicji funkcji trygonometrycznych wiemy, że: \[\sin \alpha =\frac{a}{c}\qquad \text{oraz}\qquad \cos \alpha =\frac{b}{c}\] Zatem:

\[\sin^2 \!\alpha +\cos^2 \!\alpha = \left ( \frac{a}{c} \right )^2+\left ( \frac{b}{c} \right )^2=\frac{a^2}{c^2}+\frac{b^2}{c^2}=\frac{a^2+b^2}{c^2}\]

\[\sin^2 \!\alpha +\cos^2 \!\alpha = \left ( \frac{a}{c} \right )^2+\left ( \frac{b}{c} \right )^2=\frac{a^2+b^2}{c^2}\]

Z twierdzenia Pitagorasa wiemy, że: \[a^2+b^2=c^2\] Zatem: \[\sin^2 \!\alpha +\cos^2 \!\alpha = \frac{a^2+b^2}{c^2} = \frac{c^2}{c^2}=1. \ _\blacksquare \]

Wyjaśnienie sposobu zapisu

Wyrażenie \(\sin^2 \!\alpha\), to \(\sin \alpha \) podniesiony do drugiej potęgi. Czyli: \[\sin^2 \!\alpha = (\sin \alpha)^2\] Zatem np. \(\sin \alpha = \frac{2}{3}\), to: \(\sin^2 \!\alpha = \left ( \frac{2}{3} \right )^2=\frac{4}{9}\).

Analogicznie interpretujemy \(\cos^2 \!\alpha, \operatorname{tg}^2 \alpha \text{ i }\operatorname{ctg}^2\alpha \) oraz wyższe potęgi funkcji trygonometrycznych.

Wzory na tangens i cotangens.

Dla dowolnego kąta \(\alpha \) (dla którego funkcje trygonometryczne są określone) zachodzą wzory:

\(\operatorname{tg} \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }\)
\(\operatorname{ctg} \alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }\)
\(\operatorname{tg} \alpha \cdot \operatorname{ctg} \alpha =1\)

Powyższe wzory są prawdziwe dla każdego kąta ostrego \(\alpha \) oraz dla wszystkich kątów, dla których funkcje są określone (tzn. nie pojawia się dzielenie przez \(0\) w mianowniku).

Dowód wzorów dla kąta ostrego w trójkącie prostokątnym

Weźmy dowolny trójkąt prostokątny i zaznaczmy w nim kąt \(\alpha \).

Z definicji funkcji trygonometrycznych wiemy, że: \[\sin \alpha =\frac{a}{c}\qquad \text{oraz}\qquad \cos \alpha =\frac{b}{c}\\[6pt] \operatorname{tg} \alpha =\frac{a}{b}\qquad \text{oraz}\qquad \operatorname{ctg} \alpha =\frac{b}{a}\] Zatem: \[\operatorname{tg} \alpha \cdot \operatorname{ctg} \alpha =\frac{a}{b}\cdot \frac{b}{a}=1\] oraz: \[\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{\frac{a}{c}}{\frac{b}{c}}=\frac{a}{c}\cdot \frac{c}{b}=\frac{a}{b}=\operatorname{tg} \alpha \] a także: \[\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=\frac{\frac{b}{c}}{\frac{a}{c}}=\frac{b}{c}\cdot \frac{c}{a}=\frac{b}{a}=\operatorname{ctg} \alpha. \ _\blacksquare\]

Gdy znamy wartość przynajmniej jednej funkcji trygonometrycznej, to za pomocą powyższych wzorów możemy obliczyć wartości wszystkich pozostałych funkcji trygonometrycznych.

Oblicz \(\sin \alpha \text{, }\operatorname{tg} \alpha \text{ i }\operatorname{ctg} \alpha \) jeśli wiesz, że \(\cos \alpha =\frac{1}{3}\).

Korzystamy z jedynki trygonometrycznej: \[ \sin^2 \!\alpha +\cos^2 \!\alpha = 1\\[10pt] \sin^2 \!\alpha +\left ( \frac{1}{3} \right )^2 = 1\\[10pt] \sin^2 \!\alpha +\frac{1}{9} = 1\\[10pt] \sin^2 \!\alpha = \frac{8}{9}\\[10pt] \sin \alpha =\sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{\sqrt{8}}{3} = \frac{2\sqrt{2}}{3}\] Teraz obliczamy tangens: \[\operatorname{tg} \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{\frac{2\sqrt{2}}{3}}{\frac{1}{3}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}\cdot \frac{3}{1}=2\sqrt{2}\] Teraz obliczamy cotangens: \[\operatorname{ctg} \alpha =\frac{1}{\operatorname{tg} \alpha }=\frac{1}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2\cdot 2}=\frac{\sqrt{2}}{4}\]

Oblicz \(\cos \alpha \text{, }\operatorname{tg} \alpha \text{ i }\operatorname{ctg} \alpha \) jeśli wiesz, że \(\sin \alpha =\frac{2}{5}\).

Korzystamy z jedynki trygonometrycznej: \[ \sin^2 \!\alpha +\cos^2 \!\alpha = 1\\[10pt] \left ( \frac{2}{5} \right )^2+\cos^2 \!\alpha = 1\\[10pt] \frac{4}{25}+\cos^2 \!\alpha = 1\\[10pt] \cos^2 \!\alpha = \frac{21}{25}\\[10pt] \cos \alpha =\sqrt{\frac{21}{25}}=\frac{\sqrt{21}}{5}\] Teraz obliczamy tangens:

\[\operatorname{tg} \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{\frac{2}{5}}{\frac{\sqrt{21}}{5}}=\frac{2}{5}\cdot \frac{5}{\sqrt{21}}=\frac{2}{\sqrt{21}}=\frac{2\sqrt{21}}{21}\]

\[\operatorname{tg} \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }\!=\!\frac{\frac{2}{5}}{\frac{\sqrt{21}}{5}}=\frac{2}{5}\!\cdot\! \frac{5}{\sqrt{21}}=\frac{2}{\sqrt{21}}=\frac{2\sqrt{21}}{21}\]

Teraz obliczamy cotangens: \[\operatorname{ctg} \alpha =\frac{1}{\operatorname{tg} \alpha }=\frac{1}{\frac{2}{\sqrt{21}}}=\frac{\sqrt{21}}{2}\]

Oblicz \(\sin \alpha \text{, }\cos \alpha \text{ i }\operatorname{ctg} \alpha \) jeśli wiesz, że \(\operatorname{tg} \alpha =7\).

Najłatwiej jest wyliczyć cotangens: \[\operatorname{ctg} \alpha =\frac{1}{\operatorname{tg} \alpha }=\frac{1}{7}\] Teraz skorzystamy ze wzoru na tangens oraz jedynki trygonometrycznej i ułożymy układ równań z dwiema niewiadomymi. Tymi niewiadomymi będą oczywiście szukane \(\sin \alpha \text{ i }\cos \alpha \). \[\begin{split} &\begin{cases}\operatorname{tg} \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }\\\sin^2 \!\alpha +\cos^2 \!\alpha =1\end{cases} \\[10pt]&\begin{cases}7 =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }\\\sin^2 \!\alpha +\cos^2 \!\alpha =1\end{cases} \end{split}\] Z pierwszego równania możemy wyliczyć np. \(\sin \alpha \): \[\begin{split} 7 &=\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }\\[6pt]7\cos \alpha &=\sin \alpha \\[6pt]\sin \alpha &=7\cos \alpha \end{split}\] Teraz wyznaczonego sinusa możemy podstawić do jedynki trygonometrycznej. W rezultacie otrzymamy równanie z jedną niewiadomą (\(\cos \alpha \)): \[ \sin^2 \!\alpha +\cos^2 \!\alpha =1\\[6pt] (7\cos \alpha )^2 +\cos^2 \!\alpha =1\\[6pt] 49 \cos^2 \!\alpha +\cos^2 \!\alpha =1\\[6pt] 50 \cos^2 \!\alpha =1\\[6pt]\cos^2 \!\alpha =\frac{1}{50}\\[6pt] \cos \alpha =\sqrt{\frac{1}{50}}=\frac{\sqrt{50}}{50}=\frac{5\sqrt{2}}{50}=\frac{\sqrt{2}}{10} \] Teraz wyliczymy sinus korzystając z wyznaczonego wcześniej wzoru: \[\sin \alpha =7\cos \alpha =7\cdot \frac{\sqrt{2}}{10}=\frac{7\sqrt{2}}{10}\]