Poziom studiów
Macierz to uporządkowana tabela liczb (lub wyrażeń), ułożona w wierszach i kolumnach.
Definicja
Macierz \(A\) o wymiarach \(m \times n\) - to układ liczb zapisanych w formie prostokątnej tabeli: \[ A=\left[\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \ldots & a_{m n} \end{array}\right] \] gdzie:
\(m\) - to liczba wierszy,
\(n\) - to liczba kolumn.
Elementy macierzy oznaczamy jako \(a_{i j}\), gdzie \(i\) oznacza numer wiersza, a \(j\) numer kolumny. Rzędy poziome macierzy \(A\) nazywamy wierszami, rzędy pionowe kolumnami.
Zbiór wszystkich macierzy rzeczywistych o wymiarach \(m \times n\) o wyrazach ze zbioru \(\mathbb{R} \) oznaczamy \(M_{m \times n}(\mathbb{R})\).
Przykłady macierzy rzeczywistych o różnych wymiarach:
- \({\left[\begin{array}{ccc} 2 & 1 & 7 \\ -1 & 4 & 2 \\ 3 & 0 & -3 \end{array}\right] \in M_{3 \times 3}(\mathbb{R})}\)
- \({\left[\begin{array}{ccc} 2 & 1 & 7 \\ -1 & 4 & 2 \end{array}\right] \in M_{2 \times 3}(\mathbb{R})}\)
- \({\left[\begin{array}{cc} 2 & 1 \\ -1 & 4 \\ 3 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right] \in M_{4 \times 2}(\mathbb{R})}\)
Macierze bardzo często stosujemy jako uproszczony sposób zapisu układów równań.
Definicja
Układowi równań: \[ U:\left\{\begin{array}{c} a_{11} x_1+a_{12} x_2+\ldots+a_{1 n} x_n=b_1 \\ a_{21} x_1+a_{22} x_2+\ldots+a_{2 n} x_n=b_2 \\ \vdots \\ a_{m 1} x_1+a_{m 2} x_2+\ldots+a_{m n} x_n=b_m \end{array}\right. \] możemy przypisać macierz: \[ \left[\begin{array}{cccc} a_{11} & \cdots & a_{1 n} & b_1 \\ \vdots & & \vdots & \vdots \\ a_{m 1} & \cdots & a_{m n} & b_m \end{array}\right] \] Taką macierz nazywamy macierzą rozszerzoną układu \(U\).
Macierz: \[ \left[\begin{array}{ccc} a_{11} & \cdots & a_{1 n} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{m 1} & \cdots & a_{m n} \end{array}\right] \] nazywamy macierzą współczynników układu \(U\). Przykłady układów równań i odpowiadających im macierzy:
- \(U_1:\left\{\begin{array}{l} 2 x_1+7 x_2-5 x_3=0 \\ 4 x_1-x_2+5 x_3=0 \\ -x_1+2 x_2-2 x_3=0 \end{array}\right. \longrightarrow\left[\begin{array}{cccc} 2 & 7 & -5 & 0 \\ 4 & -1 & 5 & 0 \\ -1 & 2 & -2 & 0 \end{array}\right]\)
- \(U_2:\left\{\begin{array}{c} 2 x_1+7 x_2=2 \\ -9 x_2+5 x_3=-1 \\ x_1+x_2-x_3=3 \end{array}\right. \longrightarrow\left[\begin{array}{cccc} 2 & 7 & 0 & 2 \\ 0 & -9 & 5 & -1 \\ 1 & 1 & -1 & 3 \end{array}\right]\)
- \(U_3:\left\{\begin{array}{l} 11 x_1+12 x_2=13 \\ -5 x_1-7 x_2=-9 \end{array}\right. \longrightarrow\left[\begin{array}{ccc} 11 & 12 & 13 \\ -5 & -7 & -9 \end{array}\right]\)