Poziom podstawowy
Jednomianem stopnia \(n\) nazywamy funkcję: \[y=ax^n\] gdzie \(a\in \mathbb{R} \backslash \{0\}\), \(n\in \mathbb{N}_+\).
Liczbę \(a\) nazywamy współczynnikiem jednomianu.
Liczbę \(n\) nazywamy stopniem jednomianu.
Przykłady jednomianów z określonym stopniem i współczynnikiem liczbowym:
| Jednomian | Współczynnik | Stopień |
| \(y=5x\) | \(5\) | \(1\) |
| \(y=-\frac{3}{7}x^2\) | \(-\frac{3}{7}\) | \(2\) |
| \(y=3x^5\) | \(3\) | \(5\) |
| \(y=-x^{13}\) | \(-1\) | \(13\) |
| \(y=x^6\) | \(1\) | \(6\) |
| \(y=\sqrt{2}x^4\) | \(\sqrt{2}\) | \(4\) |
Jednomianem stopnia zero nazywamy funkcję stałą \(y=a\), gdzie \(a\ne 0\).
Funkcję \(y=0\) nazywamy jednomianem zerowym.
Jednomianami podobnymi (lub wyrazami podobnymi) nazywamy jednomiany różniące się co najwyżej współczynnikami liczbowymi.
Przykłady jednomianów podobnych:
\(x^2\), \(5x^2\), \(-3x^2\), \(\frac{1}{2}x^2\)
\(x^5\), \(-x^5\), \(-\frac{2}{3}x^5\), \(\sqrt{2}x^5\)
\(-x^7\), \(11x^7\), \(23x^7\), \(-150x^7\)
Jednomiany \(\sqrt{5} x^3\) i \(\frac{1}{2} x^3\) są podobne. Ich suma też jednomianem do nich podobnym: \[ \sqrt{5} x^3+\left(\frac{1}{2} x^3\right)=\left(\sqrt{5}+\frac{1}{2}\right) x^3 \]
Dwumian - to suma dwóch jednomianów o różnych stopniach.
Przykład dwumianu drugiego stopnia: \[y=x^2+5x\] Przykład dwumianu trzeciego stopnia: \[y=\frac{1}{2}x^3-x\] Przykład dwumianu piątego stopnia: \[y=-x^5+2x^2\]
Trójmian - to suma trzech jednomianów o różnych stopniach.
Przykład trójmianu drugiego stopnia: \[y=x^2+5x+1\] Przykład trójmianu trzeciego stopnia: \[y=\frac{1}{2}x^3-x^2+5x\] Przykład trójmianu piątego stopnia: \[y=-7x^5+2x^4-x^3\]
Ogólnie sumę jednomianów nazywamy
wielomianem. Dwumian i trójmian także są wielomianami.
Definicja
Wielomianem stopnia \(n\) zmiennej \(x\) nazywamy funkcję: \[w(x) = a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0\] gdzie:
\(a_{n}, a_{n-1},...,a_1,a_0\) - to
współczynniki liczbowe wielomianu,
\(n \in \mathbb{N}_+\) oraz \( a_{n}\neq 0 \).
Jednomiany występujące we wzorze wielomianu nazywamy jego wyrazami.
Oto przykłady wielomianów zmiennej \(x\):
\(w(x)=3x-5\)
\(w(x)=-x^2+5x-1\)
\(w(x)=x^3-7x-1\)
\(w(x)=x^6-2x^5+3x^4-4x^3-9\)
Wielomiany oznaczamy zazwyczaj za pomocą litery \(W\) (małej lub dużej). Innymi często stosowanymi literkami są również: \(P\), \(Q\), \(R\) (również w wersji małej lub dużej).
Wielomian możemy także zapisać za pomocą tradycyjnej litery \(f\), np: \[f(x)=x^6-2x^5+3x^4-4x^3-9\]
Oto kilka wielomianów zapisanych za pomocą różnych liter:
- \(W(x)=3x-5\)
- \(w(x)=-x^2+5x-1\)
- \(P(x)=x^2-1\)
- \(f(x)=x^3-7x-1\)
Wielomianem stopnia zero nazywamy funkcję stałą \(w(x)=a\), gdzie \(a\ne 0\).
Funkcję \(w(x)=0\) nazywamy wielomianem zerowym.