Poziom studiów
Całki z funkcji wymiernych można liczyć na kilka różnych sposobów, w zależności od tego, jaką postać ma wyrażenie wymierne.
Jeżeli podcałkowa funkcja wymierna jest ułamkiem prostym, typu: \[\frac{A}{(x-a)^n}\] lub: \[\frac{A}{(ax-b)^n}\] to jej całkę można obliczyć metodą podstawiania.
Oblicz: \(\int \frac{dx}{(3x-7)^3}\).
\[\begin{split} \int \frac{dx}{(3x-7)^3} &=\begin{vmatrix} t=3x-7 \\ dt=3dx \\ \frac{1}{3}dt=dx \end{vmatrix}\\[6pt] &=\int \frac{\frac{1}{3}dt}{t^3}=\\[6pt] &=\frac{1}{3}\int t^{-3}dt\\[6pt] &=\frac{1}{3}\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)t^{-2}+C=\\[6pt] &=-\frac{1}{6}t^{-2}+C=\\[6pt] &=-\frac{1}{6}(3x-7)^{-2}+C \end{split}\]
Jeżeli w liczniku ułamka mamy wyrażenie, które jest pochodną mianownika, to całka takiego ułamka jest logarytmem naturalnym. \[\int \frac{f'(x)}{f(x)}dx=\ln|f(x)|+C\]
Oblicz: \(\int \frac{4x-10}{2x^2-10x-18}dx\)
\[\int \frac{4x-10}{2x^2-10x-18}dx=\ln |2x^2-10x-18|+C\]
Oblicz: \(\int \frac{3-18x^5}{3x-3x^6}dx\)
\[\int \frac{3-18x^5}{3x-3x^6}dx=\ln |3x-3x^6|+C\]
Oblicz: \(\int \frac{x+6}{x^2+12x}dx\)
\[\begin{split} \int \frac{x+6}{x^2+12x}dx &=\frac{1}{2}\int \frac{2(x+6)}{x^2+12x}dx=\\[6pt] &=\frac{1}{2}\int \frac{2x+12}{x^2+12x}dx=\\[6pt] &=\frac{1}{2}\ln|x^2+12x|+C \end{split}\]
Jeżeli mamy do scałkowania wyrażenie typu \(\frac{1}{(x-a)(x-b)}\), to zamieniamy je na sumę ułamków prostych: \[\frac{1}{(x-a)(x-b)}=\frac{A}{x-a}+\frac{B}{x-b}\]
Oblicz: \(\int \frac{1}{(x-1)(x-5)}dx\)
Szukamy liczb \(A\) i \(B\) takich, że: \[\frac{1}{(x-1)(x-5)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x-5}\] Sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika i dodajemy: \[ \begin{split} \frac{A}{x-1}+\frac{B}{x-5} &=\frac{A(x-5)+B(x-1)}{(x-1)(x-5)}=\\[6pt] &=\frac{Ax-5A+Bx-B}{(x-1)(x-5)}=\\[6pt] &=\frac{(A+B)x+(-5A-B)}{(x-1)(x-5)} \end{split} \] Zatem ma zachodzić: \[\frac{1}{(x-1)(x-5)}=\frac{(A+B)x+(-5A-B)}{(x-1)(x-5)}\] Czyli: \[ \begin{split} &\begin{cases} A+B=0 \\ -5A-B=1 \end{cases} \\[6pt] &\begin{cases} A=-B \\ 5B-B=1 \end{cases} \\[6pt] &\begin{cases} A=-\frac{1}{4} \\ B=\frac{1}{4} \end{cases} \end{split} \] Zatem mamy: \[\begin{split} \int \frac{1}{(x-1)(x-5)}dx &=\int \left(\frac{-\frac{1}{4}}{x-1}+\frac{\frac{1}{4}}{x-5}\right)dx=\\[6pt] &=-\frac{1}{4} \int \frac{dx}{x-1}+\frac{1}{4}\int \frac{dx}{x-5}=\\[6pt] &=-\frac{1}{4} \ln|x-1|+\frac{1}{4}\ln|x-5|+C \end{split}\]
Oblicz: \(\int \frac{1}{x^2-5x+6}dx\)
\[\int \frac{1}{x^2-5x+6}dx=\int \frac{dx}{(x-2)(x-3)}\] Szukamy liczb \(A\) i \(B\) takich, że: \[\frac{1}{(x-2)(x-3)}=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x-3}\] Sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika i dodajemy: \[ \begin{split} \frac{A}{x-2}+\frac{B}{x-3} &=\frac{A(x-3)+B(x-2)}{(x-2)(x-3)}=\\[6pt] &=\frac{Ax-3A+Bx-2B}{(x-2)(x-3)}=\\[6pt] &=\frac{(A+B)x+(-3A-2B)}{(x-2)(x-3)} \end{split} \] Zatem ma zachodzić: \[\frac{1}{(x-2)(x-3)}=\frac{(A+B)x+(-3A-2B)}{(x-2)(x-3)}\] Czyli: \[ \begin{split} &\begin{cases} A+B=0 \\ -3A-2B=1 \end{cases} \\[6pt] &\begin{cases} A=-B \\ 3B-2B=1 \end{cases} \\[6pt] &\begin{cases} A=-1 \\ B=1 \end{cases} \end{split} \] Zatem mamy: \[\begin{split} \int \frac{dx}{(x-2)(x-3)} &=\int \left(\frac{-1}{x-2}+\frac{1}{x-3}\right)dx=\\[6pt] &=-\int \frac{dx}{x-2}+\int \frac{dx}{x-3}=\\[6pt] &=-\ln|x-2|+\ln|x-3|+C \end{split}\]
Jeżeli mamy do scałkowania wyrażenie typu \(\frac{1}{x^2+1}\), to korzystamy ze wzoru: \[\int \frac{dx}{x^2+1}=\operatorname{arctg} x+C\] Podobnie przy wyrażeniu ogólnym typu \(\frac{1}{(x-a)^2+b^2}\): \[\begin{split} \int \frac{dx}{(x-a)^2+b^2}= &=\frac{1}{b^2}\int \frac{dx}{\left(\frac{x-a}{b}\right)^2+1}=\\[6pt] &=\begin{vmatrix} t=\frac{x-a}{b} \\ dt=\frac{1}{b}dx \\b\ dt=dx \end{vmatrix}\\[6pt] &=\frac{1}{b^2}\int \frac{b\ dt}{t^2+1}=\\[6pt] &=\frac{1}{b}\int \frac{dt}{t^2+1}=\\[6pt] &=\frac{1}{b}\operatorname{arctg} t + C=\\[6pt] &=\frac{1}{b}\operatorname{arctg} \left(\frac{x-a}{b}\right) + C \end{split}\]
Oblicz: \(\int \frac{dx}{x^2+2x+5}\)
\[\begin{split} \int \frac{dx}{x^2+2x+5} &=\int \frac{dx}{(x+1)^2+4}=\\[6pt] &=\int \frac{dx}{(x+1)^2+2^2}=\\[6pt] &=\frac{1}{2}\operatorname{arctg} \left(\frac{x+1}{2}\right)+C \end{split}\]
Oblicz: \(\int \frac{3x+4}{x^2-x-2}dx\).
Oblicz: \(\int \frac{2x+2}{x^2-x+1}dx\).