Matura 2024 maj (nowa matura)

Dana jest nierówność \[ |x-1| \geq 3 \]

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności \[ 1-\frac{3}{2} x<\frac{2}{3}-x \] jest przedział

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej \(n \geq 1\) liczba \(n^{2}+(n+1)^{2}+(n+2)^{2}\) przy dzieleniu przez \(3\) daje resztę \(2\).

Liczba \(\log _{\sqrt{3}} 9\) jest równa

Dla każdej liczby rzeczywistej \(a\) i dla każdej liczby rzeczywistej \(b\) wartość wyrażenia \((2 a+b)^{2}-(2 a-b)^{2}\) jest równa wartości wyrażenia

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności \[ 1-\frac{3}{2} x<\frac{2}{3}-x \] jest przedział

Równanie \(\frac{x+1}{(x+2)(x-3)}=0\) w zbiorze liczb rzeczywistych

Dany jest wielomian \(W(x)=3 x^{3}+6 x^{2}+9 x\).

Wielomian \(W\) jest iloczynem wielomianów \(F(x)=3 x\) i \(G(x)=x^{2}+2 x+3\).	P	F
Liczba \((-1)\) jest rozwiązaniem równania \(W(x)=0\).	P	F

Rozwiąż równanie \[ x^{3}-2 x^{2}-3 x+6=0 \] Zapisz obliczenia.

W październiku 2022 roku założono dwa sady, w których posadzono łącznie 1960 drzew.
Po roku stwierdzono, że uschło \(5 \%\) drzew w pierwszym sadzie i \(10 \%\) drzew w drugim sadzie. Uschnięte drzewa usunięto, a nowych nie dosadzano.
Liczba drzew, które pozostały w drugim sadzie, stanowiła \(60 \%\) liczby drzew, które pozostały w pierwszym sadzie.
Niech \(x\) oraz \(y\) oznaczają liczby drzew posadzonych - odpowiednio - w pierwszym i drugim sadzie.
Układem równań, którego poprawne rozwiązanie prowadzi do obliczenia liczby \(x\) drzew posadzonych w pierwszym sadzie oraz liczby \(y\) drzew posadzonych w drugim sadzie, jest

Na rysunku, w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\), przedstawiono dwie proste równoległe, które są interpretacją geometryczną jednego \(z\) poniższych układów równań A-D. Układem równań, którego interpretację geometryczną przedstawiono na rysunku, jest

Funkcja liniowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=(-2 k+3) x+k-1\), gdzie \(k \in \mathbb{R}\). Funkcja \(f\) jest malejąca dla każdej liczby \(k\) należącej do przedziału

Funkcje liniowe \(f\) oraz \(g\), określone wzorami \(f(x)=3 x+6\) oraz \(g(x)=a x+7\), mają to samo miejsce zerowe. Współczynnik \(a\) we wzorze funkcji \(g\) jest równy

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej \(f\) (zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli oraz punkty przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych mają obie współrzędne całkowite.

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności \(f(x) \geq 0\) jest przedział \(.......................\) .

Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem

Dla funkcji \(f\) prawdziwa jest równość

Fragment wykresu funkcji \(y=g(x)\) przedstawiono na rysunku
Fragment wykresu funkcji \(y=h(x)\) przedstawiono na rysunku

Ciąg \(\left(a_{n}\right)\) jest określony wzorem \(a_{n}=(-1)^{n} \cdot(n-5)\) dla każdej liczby naturalnej \(n \geq 1\).

Pierwszy wyraz ciągu \(\left(a_{n}\right)\) jest dwa razy większy od trzeciego wyrazu tego ciągu.	P	F
Wszystkie wyrazy ciągu \(\left(a_{n}\right)\) są dodatnie.	P	F

Trzywyrazowy ciąg \((12,6,2 m-1)\) jest geometryczny. Ten ciąg jest

Ciąg arytmetyczny \(\left(a_{n}\right)\) jest określony dla każdej liczby naturalnej \(n \geq 1\). Trzeci wyraz tego ciągu jest równy \((-1)\), a suma piętnastu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu jest równa \((-165)\).

W kartezjańskim układzie wspórzędnych \((x, y)\) zaznaczono kąt o mierze \(\alpha\) taki, że \(\operatorname{tg} \alpha=-3\) oraz \(90^{\circ}<\alpha<180^{\circ}\) (zobacz rysunek). Prawdziwe są zależności: ............. oraz .............. .

Liczba \(\sin ^{3} 20^{\circ}+\cos ^{2} 20^{\circ} \cdot \sin 20^{\circ}\) jest równa

Dany jest trójkąt \(K L M\), w którym \(|K M|=a,|L M|=b\) oraz \(a \neq b\). Dwusieczna kąta \(K M L\) przecina bok \(K L\) w punkcie \(N\) takim, że \(|K N|=c\), \(|N L|=d\) oraz \(|M N|=e\) (zobacz rysunek). W trójkącie \(K L M\) prawdziwa jest równość

Dany jest równoległobok o bokach długości \(3\) i \(4\) oraz o kącie między nimi o mierze \(120^{\circ}\). Pole tego równoległoboku jest równe

W trójkącie \(A B C\), wpisanym w okrąg o środku w punkcie \(S\), kąt \(A C B\) ma miarę \(42^{\circ}\) (zobacz rysunek). Miara kąta ostrego \(B A S\) jest równa

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) proste \(k\) oraz \(l\) są określone równaniami \[ \begin{aligned} & k: y=(m+1) x+7 \\ & l: y=-2 x+7 \end{aligned} \] Proste \(k\) oraz \(l\) są prostopadłe, gdy liczba \(m\) jest równa

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) dany jest równoległobok \(A B C D\), w którym \(A=(-2,6)\) oraz \(B=(10,2)\). Przekątne \(A C\) oraz \(B D\) tego równoległoboku przecinają się w punkcie \(P=(6,7)\).

Wysokość graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego jest równa \(6\) (zobacz rysunek). Pole podstawy tego graniastosłupa jest równe \(15 \sqrt{3}\).

Pole jednej ściany bocznej tego graniastosłupa jest równe

Kąt nachylenia najdłuższej przekątnej graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego do płaszczyzny podstawy jest zaznaczony na rysunku

Ostrosłup \(F_{1}\) jest podobny do ostrosłupa \(F_{2}\).
Objętość ostrosłupa \(F_{1}\) jest równa \(64\).
Objętość ostrosłupa \(F_{2}\) jest równa \(512\). Stosunek pola powierzchni całkowitej ostrosłupa \(F_{2}\) do pola powierzchni całkowitej ostrosłupa \(F_{1}\) jest równy ...........

Rozważamy wszystkie kody czterocyfrowe utworzone tylko z cyfr \(1,\ 3,\ 6,\ 8\), przy czym w każdym kodzie każda z tych cyfr występuje dokładnie jeden raz. Liczba wszystkich takich kodów jest równa

Średnia arytmetyczna trzech liczb: \(a,\ b,\ c\), jest równa \(9\). Średnia arytmetyczna sześciu liczb: \(a,\ a,\ b,\ b,\ c,\ c\), jest równa

\(\mathrm{Na}\) diagramie przedstawiono wyniki sprawdzianu z matematyki w pewnej klasie maturalnej. Na osi poziomej podano oceny, które uzyskali uczniowie tej klasy, a na osi pionowej podano liczbę uczniów, którzy otrzymali daną ocenę. Mediana ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów tej klasy jest równa

Dany jest pięcioelementowy zbiór \(K=\{5,6,7,8,9\}\). Wylosowanie każdej liczby z tego zbioru jest jednakowo prawdopodobne. Ze zbioru \(K\) losujemy ze zwracaniem kolejno dwa razy po jednej liczbie i zapisujemy je w kolejności losowania.

W schronisku dla zwierząt, na płaskiej powierzchni, należy zbudować ogrodzenie z siatki wydzielające trzy identyczne wybiegi o wspólnych ścianach wewnętrznych.
Podstawą każdego z tych trzech wybiegów jest prostokąt (jak pokazano na rysunku).
Do wykonania tego ogrodzenia należy zużyć \(36\) metrów bieżących siatki.
Schematyczny rysunek trzech wybiegów (widok z góry). Linią przerywaną zaznaczono siatkę.