Funkcja homograficzna
Definicja
Funkcja homograficzna - to funkcja dana wzorem: \[f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}\] gdzie \(c\ne 0\), określona dla \(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{-\frac{d}{c}\right\}\). Podany w definicji wzór nazywamy postacią ogólną funkcji homograficznej.
Wykres funkcji homograficznej można narysować przekształcając jej wzór do postaci kanonicznej: \[f(x)=\frac{r}{x-p}+q\] gdzie \(r\ne 0\), a \(x\in \mathbb{R} \backslash \{p\}\).
Wówczas wykres funkcji \(f(x)=\frac{r}{x-p}+q\), to wykres funkcji \(f(x)=\frac{r}{x}\) przesunięty o wektor \([p, q]\).
Wykres funkcji homograficznej nazywamy hiperbolą.
Naszkicuj wykres funkcji \(f(x)=\frac{x+2}{x-3}\).
Dziedziną funkcji jest zbiór \(\mathbb{R} \backslash \{3\}\).
Przekształcamy wzór do postaci kanonicznej: \[f(x)=\frac{x+2}{x-3}=\frac{(x-3)+5}{x-3}=\frac{x-3}{x-3}+\frac{5}{x-3}=1+\frac{5}{x-3}\] Zatem postać kanoniczna, to: \[f(x)=\frac{5}{x-3}+1\] Czyli wystarczy narysować wykres funkcji \(g(x)=\frac{5}{x}\) i przesunąć go o wektor \([3, 1]\).
Na powyższym rysunku przerywana pionowa prosta \(x=3\) to asymptota pionowa.
Przerywana prosta pozioma \(y=1\) to asymptota pozioma..
Przekształcamy wzór do postaci kanonicznej: \[f(x)=\frac{x+2}{x-3}=\frac{(x-3)+5}{x-3}=\frac{x-3}{x-3}+\frac{5}{x-3}=1+\frac{5}{x-3}\] Zatem postać kanoniczna, to: \[f(x)=\frac{5}{x-3}+1\] Czyli wystarczy narysować wykres funkcji \(g(x)=\frac{5}{x}\) i przesunąć go o wektor \([3, 1]\).
Na powyższym rysunku przerywana pionowa prosta \(x=3\) to asymptota pionowa.Przerywana prosta pozioma \(y=1\) to asymptota pozioma..
Naszkicuj wykres funkcji \(f(x)=\frac{4x-2}{2x+1}\).
Jak widać na powyższych przykładach, rysowanie wykresu funkcji homograficznej sprowadza się do wyznaczenia postaci kanonicznej. Dziedziną funkcji jest zbiór \(\mathbb{R} \backslash \left\{-\frac{1}{2}\right\}\).
Przekształcamy wzór do postaci kanonicznej: \[f(x)=\frac{4x-2}{2x+1}=\frac{2(2x+1)-4}{2x+1}=2-\frac{4}{2x+1}=2-\frac{2}{x+\frac{1}{2}}\] Zatem postać kanoniczna, to: \[f(x)=-\frac{2}{x+\frac{1}{2}}+2\] Czyli wystarczy narysować wykres funkcji \(g(x)=-\frac{2}{x}\) i przesunąć go o wektor \(\left[-\frac{1}{2}, 2\right]\).
Prosta \(x=-\frac{1}{2}\) to asymptota pionowa, a prosta \(y=2\), to asymptota pozioma.
Przekształcamy wzór do postaci kanonicznej: \[f(x)=\frac{4x-2}{2x+1}=\frac{2(2x+1)-4}{2x+1}=2-\frac{4}{2x+1}=2-\frac{2}{x+\frac{1}{2}}\] Zatem postać kanoniczna, to: \[f(x)=-\frac{2}{x+\frac{1}{2}}+2\] Czyli wystarczy narysować wykres funkcji \(g(x)=-\frac{2}{x}\) i przesunąć go o wektor \(\left[-\frac{1}{2}, 2\right]\).
Prosta \(x=-\frac{1}{2}\) to asymptota pionowa, a prosta \(y=2\), to asymptota pozioma. Przykłady przekształcania wyrażeń z postaci ogólnej na kanoniczną.
\(\frac{x+3}{x+5}=\frac{x+5-2}{x+5}=\frac{x+5}{x+5}-\frac{2}{x+5}=-\frac{2}{x+5}+1\)
\(\frac{2x-8}{x+3}=\frac{2(x+3)-6-8}{x+3}=2-\frac{14}{x+3}=-\frac{14}{x+3}+2\)
\(\frac{x+3}{2x-1}=\frac{\frac{1}{2}(2x-1)+\frac{1}{2}+3}{2x-1}=\frac{\frac{1}{2}(2x-1)}{2x-1}+\frac{\frac{7}{2}}{2x-1}=\frac{\frac{7}{2}}{2x-1}+\frac{1}{2}\)
W filmie omawiam wszystkie najważniejsze informacje dotyczące funkcji homograficznej.
Czas nagrania: 71 min.