Wykresem funkcji liniowej jest linia prosta.
Żeby narysować wykres funkcji liniowej, wystarczy wyznaczyć dwa punkty, które do niego należą.
Narysuj wykres funkcji liniowej \(y=x+3\).
Obliczamy współrzędne dwóch dowolnych punktów przez które przechodzi nasza prosta.
Dla \(x=0\) mamy: \[y=0+3=3\] Czyli do wykresu funkcji należy punkt o współrzędnych \((0,3)\).
Dla \(x=1\) mamy: \[y=1+3=4\] Czyli do wykresu funkcji należy punkt o współrzędnych \((1,4)\).
Teraz możemy zaznaczyć punkty w układzie współrzędnych i narysować prostą:
Narysuj wykres funkcji liniowej \(y=2x-1\).
Obliczamy współrzędne dwóch dowolnych punktów przez które przechodzi nasza prosta.
Dla \(x=0\) mamy: \[y=2\cdot 0-1=0-1=-1\] Czyli do wykresu funkcji należy punkt o współrzędnych \((0,-1)\).
Dla \(x=1\) mamy: \[y=2\cdot 1-1=2-1=1\] Czyli do wykresu funkcji należy punkt o współrzędnych \((1,1)\).
Teraz możemy zaznaczyć punkty na wykresie i narysować prostą:
Narysuj wykres funkcji liniowej \(y=-\frac{1}{3}x-2\).
Obliczamy współrzędne dwóch dowolnych punktów przez które przechodzi nasza prosta.
Dla \(x=0\) mamy: \[y=-\frac{1}{3}\cdot 0-2=0-2=-2\] Czyli do wykresu funkcji należy punkt o współrzędnych \((0,-2)\).
Dla \(x=3\) mamy: \[y=-\frac{1}{3}\cdot 3-2=-1-2=-3\] Czyli do wykresu funkcji należy punkt o współrzędnych \((3,-3)\).
Teraz możemy zaznaczyć punkty w układzie współrzędnych i narysować prostą:
Monotoniczność funkcji liniowej
Funkcja liniowa: \[y=ax+b\]
- jest rosnąca jeżeli \(a \gt 0\),
- jest malejąca jeżeli \(a \lt 0\),
- jest stała jeżeli \(a = 0\).
Wyraz wolny \(b\), to punkt przecięcia funkcji liniowej z osią \(Oy\).
Na powyższym rysunku prosta jest rosnąca, czyli \(a \gt 0\).
Dla jakiego parametru \(m\) funkcja \(f(x)=(2m+3)x-7\) jest rosnąca?
Funkcja \(f\) jest rosnąca, jeżeli: \[\begin{split} 2m+3&\gt0\\[6pt] 2m&\gt-3\\[6pt] m&\gt-\frac{3}{2} \end{split}\] Zatem funkcja \(f\) jest rosnąca dla \(m \gt-\frac{3}{2}\).
Miejsce zerowe
Miejsce zerowe funkcji liniowej \(f(x)=ax+b\), to argument \(x\) spełniający równanie: \[ax+b=0\] Z powyższego równania wynika bezpośredni wzór: \[x=-\frac{b}{a}\] Oblicz miejsce zerowe funkcji \(f(x)=5x-7\).
Przyrównujemy wzór funkcji do zera: \[\begin{split} 5x-7&=0\\[6pt] 5x&=7\\[6pt] x&=\frac{7}{5} \end{split}\] Zatem miejscem zerowym funkcji \(f\) jest argument \(x=\frac{7}{5}\).
Proste równoległe i prostopadłe
Dwie proste o równaniach \[\begin{split} &y=a_1x+b_1\\[6pt] &y=a_2x+b_2 \end{split}\]
- są równoległe, jeżeli ich współczynniki kierunkowe są równe, czyli: \[a_1=a_2\]
- są prostopadłe, jeżeli ich współczynniki kierunkowe spełniają zależność: \[a_1\cdot a_2=-1\]
Więcej materiałów o prostych równoległych i prostopadłych znajdziesz w rozdziale:
Proste równoległe i prostopadłe.