Funkcja wykładnicza ma wzór: \[f(x)=a^x\] gdzie \(a \gt 0\).
Nazwa funkcji wykładniczej pochodzi od tego, że \(x\) znajduje się w wykładniku.
Wykresem funkcji \(y = a^x\) jest krzywa, która zawsze przecina oś \(y\) w punkcie \(1\).
Zasadniczy kształt wykresu zależy do tego czy \(a\gt 1\) czy \(a\lt 1\). Pokażemy oddzielnie oba te przypadki.
Narysujemy wykres funkcji \(y = 2^x\).
Na początek obliczmy wartości tej funkcji dla kilku przykładowych argumentów \(x\). Sporządźmy zatem odpowiednią tabelkę:
\(x\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) |
\(y=2^x\) | \(\frac{1}{2}\) | \(1\) | \(2\) | \(4\) | \(8\) |
Zatem wykres tej funkcji będzie wyglądał następująco:
Bardzo podobnie wyglądają wykresy innych funkcji wykładniczych o podstawie \(a\gt 1\). Przykładowo:
Własności funkcji wykładniczej o podstawie \(a\gt 1\):
- Dziedzina: \(\mathbb{R} \).
- Zbiór wartości: \(\mathbb{R} ^{+}\).
- Monotoniczność: funkcja jest rosnąca.
- Różnowartościowość: funkcja jest różnowartościowa.
- Funkcja przyjmuje tylko wartości dodatnie: \[f(x)\gt 0,\ \text{dla}\ x\in \mathbb{R} \]
- Miejsca zerowe: funkcja nie ma miejsc zerowych.
- Parzystość: nie jest.
- Nieparzystość: nie jest.
Teraz zobaczymy jak wyglądają funkcje wykładnicze o podstawie \(a \lt 1\).
Narysujemy wykres funkcji \(y=\left(\frac{1}{2}\right)^x\).
Na początek obliczmy wartości tej funkcji dla kilku przykładowych argumentów \(x\). Sporządźmy zatem odpowiednią tabelkę:
\(x\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) |
\(y=\left(\frac{1}{2}\right)^x\) | \(4\) | \(2\) | \(1\) | \(\frac{1}{2}\) | \(\frac{1}{4}\) |
Zatem wykres tej funkcji będzie wyglądał następująco:
Bardzo podobnie wyglądają wykresy innych funkcji wykładniczych o podstawie \(a \lt 1\). Przykładowo:
Własności funkcji wykładniczej o podstawie \(a \lt 1\):
- Dziedzina: \(\mathbb{R} \).
- Zbiór wartości: \(\mathbb{R}^{+}\).
- Monotoniczność: funkcja jest malejąca.
- Różnowartościowość: funkcja jest różnowartościowa.
- Funkcja przyjmuje tylko wartości dodatnie: \[f(x)\gt 0,\ \text{dla}\ x\in \mathbb{R} \]
- Miejsca zerowe: funkcja nie ma miejsc zerowych.
- Parzystość: nie jest.
- Nieparzystość: nie jest.