Arkusz pokazowy 2023 - rozszerzony (nowa matura)

Przekształcamy \(\log _4 49\), stosując wzór na logarytm potęgi oraz wzór na zamianę podstawy logarytmu, i otrzymujemy \[\begin{align} \log _4 49=2 \cdot \log _4 7=2 \cdot \frac{\log _3 7}{\log _3 4}=2 \cdot \frac{\log _3 7}{\frac{\log _2 4}{\log _2 3}}=2 \cdot \log _3 7 \cdot \frac{\log _2 3}{\log _2 4}=2 \cdot \log _3 7 \cdot \frac{\log _2 3}{2} \end{align}\] Zatem \[ \log _4 49=2 \cdot b \cdot \frac{a}{2}=a \cdot b \] Odp. \(\log _4 49=a \cdot b\)

Wyznaczamy pochodną funkcji \(f\) : \[ f^{\prime}(x)=\frac{2 x \cdot(x-1)-\left(x^2+3\right) \cdot 1}{(x-1)^2}=\frac{x^2-2 x-3}{(x-1)^2} \] dla każdego \(x \in \mathbb{R} \backslash\{1\}\). Obliczamy współczynnik kierunkowy szukanej stycznej: \[ f^{\prime}(-3)=\frac{(-3)^2-2 \cdot(-3)-3}{(-3-1)^2}=\frac{9+6-3}{16}=\frac{3}{4} \] Zatem równanie stycznej do wykresu funkcji \(f\) w punkcie \(P=(-3,-3)\) ma postać: \[ y=\frac{3}{4} x+b \] Obliczamy współczynnik \(b\).
Punkt \(P\) leży na prostej stycznej, więc: \[-3=\frac{3}{4} \cdot(-3)+b\] Stąd:\[b=-\frac{3}{4}\] Zatem równanie stycznej do wykresu funkcji \(f\) w punkcie \(P=(-3,-3)\) ma postać: \[y=\frac{3}{4} x-\frac{3}{4}\]

Suma wszystkich wyrazów ciągu \(\left(a_n\right)\) istnieje i jest różna od zera, zatem \(a_1 \neq 0\) i iloraz \(q\) tego ciągu spełnia warunek \(|q|<1\).
Korzystamy ze wzorów na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu geometrycznego oraz na sumę wszystkich wyrazów ciągu geometrycznego i obliczamy iloraz \(q\) ciągu \(\left(a_n\right)\) : \[ \begin{gathered} a_1+a_2+a_3=a_1 \cdot \frac{1-q^3}{1-q}=\frac{a_1}{1-q} \cdot\left(1-q^3\right)=S \cdot\left(1-q^3\right) \\ 7=8\left(1-q^3\right) \\ q=\frac{1}{2} \end{gathered} \] Zatem \[S=a_1 \cdot \frac{1}{1-\frac{1}{2}}=2 a_1\] i \[S_n=a_1 \cdot \frac{1-\left(\frac{1}{2}\right)^n}{1-\frac{1}{2}}=2 a_1 \cdot\left[1-\left(\frac{1}{2}\right)^n\right]\] Stąd, wobec \(a_1 \neq 0\), otrzymujemy \[\frac{S-S_n}{S_n}=\frac{2 a_1-2 a_1 \cdot\left[1-\left(\frac{1}{2}\right)^n\right]}{2 a_1 \cdot\left[1-\left(\frac{1}{2}\right)^n\right]}=\frac{2 a_1 \cdot\left(\frac{1}{2}\right)^n}{2 a_1 \cdot\left[1-\left(\frac{1}{2}\right)^n\right]}=\frac{\left(\frac{1}{2}\right)^n}{1-\left(\frac{1}{2}\right)^n}\] Rozwiązujemy nierówność \(\left|\frac{S-S_n}{S_n}\right|<0,001\) w zbiorze liczb całkowitych dodatnich: \[ \begin{gathered} \left|\frac{S-S_n}{S_n}\right|<0,001 \\ \left|\frac{\left(\frac{1}{2}\right)^n}{1-\left(\frac{1}{2}\right)^n}\right|<0,001 \end{gathered} \] Ponieważ \(q=\frac{1}{2} \in(0,1)\), więc \(1-\left(\frac{1}{2}\right)^n>0\).
Zatem nierówność \(\left|\frac{\left(\frac{1}{2}\right)^n}{1-\left(\frac{1}{2}\right)^n}\right|<0,001\) możemy przeksztakcić do postaci \[\frac{\left(\frac{1}{2}\right)^n}{1-\left(\frac{1}{2}\right)^n}<0,001\] Stąd otrzymujemy dalej: \[ \begin{gathered} \left(\frac{1}{2}\right)^n<0,001\left[1-\left(\frac{1}{2}\right)^n\right] / \cdot 2^n \\ 1<0,001\left(2^n-1\right) \\ 2^n>1001 \end{gathered} \] Ponieważ \(2^9=512\) i \(2^{10}=1024\), więc \(n>9\).
Rozwiązaniem nierówności \(\left|\frac{S-S_n}{S_n}\right|<0,001\) w zbiorze liczb całkowitych dodatnich są wszystkie liczby naturalne większe od 9 .

Rozwiązanie CKE:
Zauważmy, że jednym z rozwiązań równania \[ (1)\qquad (x-6) \cdot\left[(m-2) x^2-4(m+3) x+m+1\right]=0 \] jest liczba 6. Zatem równanie (1) ma trzy różne rozwiązania rzeczywiste tego samego znaku wtedy i tylko wtedy, gdy równanie \[ (2)\qquad (m-2) x^2-4(m+3) x+m+1=0 \] ma dokładnie dwa różne rozwiązania dodatnie \(x_1, x_2\) takie, że \(x_1 \neq 6\) i \(x_2 \neq 6\). Dla \(m=2\) równanie (2) przyjmuje postać \(-20 x+3=0\) i ma tylko jedno rozwiązanie. Pozostaje wyznaczyć te wartości parametru \(m\), dla których warunki zadania są spełnione, a równanie (2) jest kwadratowe, tj. wyznaczyć te wartości parametru, dla których spełnione są jednocześnie następujące warunki: \[ \begin{aligned} & \text { (W1) } m-2 \neq 0 \\ & \text { (W2) } \Delta>0 \\ & \text { (W3) } x_1 \cdot x_2>0 \\ & \text { (W4) } x_1+x_2>0 \\ & \text { (W5) }(m-2) \cdot 6^2-4 \cdot(m+3) \cdot 6+m+1 \neq 0 \end{aligned} \] Rozwiązaniem warunku (W1) jest \(m \neq 2\). Rozwiązujemy nierówność \(\Delta>0\) : \[ \begin{gathered} {[-4(m+3)]^2-4 \cdot(m-2) \cdot(m+1)>0} \\ 16 m^2+96 m+144-4 m^2+4 m+8=0 \\ 12 m^2+100 m+152>0 \\ m \in\left(-\infty,-\frac{19}{3}\right) \cup(-2,+\infty) \end{gathered} \] Korzystając ze wzorów Viète'a, rozwiązujemy warunek (W3): \[ \begin{gathered} x_1 \cdot x_2>0 \\ \frac{m+1}{m-2}>0 \\ (m+1)(m-2)>0 \wedge m \neq 2 \\ m \in(-\infty,-1) \cup(2,+\infty) \end{gathered} \] Korzystając ze wzorów Viète'a, rozwiązujemy warunek (W4): \[ \begin{gathered} x_1+x_2>0 \\ -\frac{-4(m+3)}{m-2}>0 \\ (m+3)(m-2)>0 \wedge m \neq 2 \\ m \in(-\infty,-3) \cup(2,+\infty) \end{gathered} \] Rozwiązujemy warunek (W5): \[ \begin{gathered} (m-2) \cdot 6^2-4 \cdot(m+3) \cdot 6+m+1 \neq 0 \\ 13 m-143 \neq 0 \\ m \neq 11 \end{gathered} \] Wyznaczamy część wspólną rozwiązań warunków (W1)-(W5) i otrzymujemy \(m \in\left(-\infty,-\frac{19}{3}\right) \cup(2,11) \cup(11,+\infty)\)

Rozwiązanie CKE:
Sumę sześcianów trzech kolejnych liczb całkowitych niepodzielnych przez \(4\) można zapisać w postaci \[(a-1)^3+a^3+(a+1)^3\] gdzie \(a\) jest liczbą parzystą niepodzielną przez \(4\).
Ponieważ \[ (a-1)^3+a^3+(a+1)^3=a^3-3 a^2+3 a-1+a^3+a^3+3 a^2+3 a+1=3 a\left(a^2+2\right), \] więc liczba \((a-1)^3+a^3+(a+1)^3\) jest podzielna przez \(4\) jako iloczyn liczby parzystej \(3a\) i liczby parzystej \(a^2+2\).
Jeżeli \(a=3 k\), przy pewnym \(k \in \mathbb{Z}\), to \(3 a\left(a^2+2\right)=9 k\left(9 k^2+2\right)\) jest liczbą podzielną przez \(9\).
Jeżeli \(a=3 k+1\), przy pewnym \(k \in \mathbb{Z}\), to \[3 a\left(a^2+2\right)=3(3 k+1)\left[(3 k+1)^2+2\right]=\] \[=3(3 k+1)\left(9 k^2+6 k+3\right)=9(3 k+1)\left(3 k^2+2 k+1\right)\] jest liczbą podzielną przez \(9\).
Jeżeli \(a=3 k+2\), przy pewnym \(k \in \mathbb{Z}\), to liczba \[3 a\left(a^2+2\right)=\] \[ =3(3 k+2)\left[(3 k+2)^2+2\right]=3(3 k+2)\left(9 k^2+12 k+6\right)=9(3 k+2)\left(3 k^2+4 k+2\right) \] jest liczbą podzielną przez \(9\).
Zatem suma sześcianów trzech kolejnych liczb całkowitych niepodzielnych przez \(4\) jest podzielna przez \(9\). Ponieważ suma trzech kolejnych liczb całkowitych niepodzielnych przez \(4\) jest liczbą podzielną przez \(4\) i przez \(9\) oraz liczby \(4\) i \(9\) są względnie pierwsze, więc ta suma jest liczbą podzielną przez \(36\).

Rozwiązanie CKE:

Rozwiązanie CKE:

Rozwiązanie CKE:

Rozwiązanie CKE:

Rozwiązanie CKE:

Rozwiązanie CKE:

Rozwiązanie CKE: