Poziom rozszerzony
Twierdzenie o zmianie podstawy logarytmu
Jeżeli \(a, b\) i \(c\) są liczbami dodatnimi oraz \(a \ne 1\) i \(c \ne 1\), to: \[ \log_ab=\frac{\log_cb}{\log_ca} \] Dowód: Z definicji logarytmu wynika wzór na logarytm w wykładniku potęgi: \[x^{\log_xy}=y\] Korzystając z tego wzoru możemy zapisać trzy własności: \[b=c^{\log_cb}\quad \text{oraz}\quad b=a^{\log_ab}\quad \text{oraz}\quad a=c^{\log_ca}\] Z dwóch pierwszych własności otrzymujemy równanie: \[c^{\log_cb}=a^{\log_ab}\] Po prawej stronie tego równania możemy podstawić pod \(a\) to co wynika z trzeciej własności: \[c^{\log_cb}=\left(c^{\log_ca}\right)^{\log_ab}\] Korzystając z prawa działań na potęgach mamy: \[c^{\log_cb}=c^{\log_ca\ \cdot\ \log_ab}\] Po obu stronach równania mamy potęgi o takich samych podstawach, więc porównujemy wykładniki: \[\log_cb=\log_ca \cdot \log_ab\] Dzieląc równanie stronami przez \(\log_ca\) otrzymujemy tezę: \[\frac{\log_cb}{\log_ca}=\log_ab\] Co kończy dowód.
Zauważmy, że przy okazji dowodu twierdzenia wyprowadziliśmy inny użyteczny wzór na mnożenie logarytmów:
\[\log_ca \cdot \log_ab=\log_cb\]
Liczba \(\frac{\log_327}{\log_3\sqrt{27}}\) jest równa
A.\( -\frac{1}{2} \)
B.\( 2 \)
C.\( -2 \)
D.\( \frac{1}{2} \)
Dane są liczby \[a=4^{\log_245}\ \ \ \text{oraz}\ \ \ b=\frac{\log_32023}{\log_92023}\]
Oblicz \(a-b\).
\(2023\)
Niech \(\log_2 18=c\).
Wykaż, że \(\log_3 4 =\frac{4}{c-1}\)
Dane są liczby \(a=\log_{25}10\cdot \log\sqrt{5}\) oraz \(b=\frac{\log_\sqrt{5}7}{\log_\sqrt{5}16}\).
Wykaż, że: \[\frac{\sqrt{7}}{8}\lt a^b\lt\frac{\sqrt{7}}{6}\]
Dane są liczby \(a=\log_35\) oraz \(b=\log_37\).
Wyraź \(\log_{15}63\) za pomocą liczb \(a\) oraz \(b\). Zapisz obliczenia.
\(\frac{b+2}{a+1}\)
Oblicz wartość wyrażenia \[\log_83^{3\log_32-\log_{27}8-\log_94}\] Zapisz obliczenia.
\(\frac{1}{3}\)
Oblicz najpierw różnicę logarytmów w wykładniku potęgi. Aby wykonać odejmowanie przekształć logarytmy do podstawy równej \(3\).