Zadania maturalne CKE 2025 - poziom rozszerzony

Dany jest układ równań \[ \left\{\begin{array}{l} m x+y=m^{2} \tag{1}\\ 4 x+m y=8 \end{array}\right. \] z niewiadomymi \(x\) i \(y\) oraz parametrem \(m \in \mathbb{R}\).

Dane są liczby \(a=\left(\log_{\sqrt{5}} 2\right) \cdot \log _{2} 25\) i \(b=\frac{\log_{5} 6}{\log_{5} 8}\).

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu wielomianu \(W\) określonego wzorem \[ W(x)=\frac{1}{8} x^{3}-2 x^{2}+\frac{67}{8} x-3 \] dla każdego \(x \in \mathbb{R}\).

Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=\frac{-3 x+41}{x-13}\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x \neq 13\).

Wielomian \(W\) jest określony wzorem \(W(x)=(x-1)\left(x^{2}-m x+m-1\right)\) dla każdego \(x \in \mathbb{R}\).

Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=p x^{2}+(p-1) x+1-2 p\) dla każdego \(x \in \mathbb{R}\).

Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=\frac{3x}{x+1}\) dla każdego \(x \in(-1,+\infty)\).

Syzyf codziennie stoi przed zadaniem wtoczenia ciężkiej kamiennej kuli na szczyt pewnej góry. W chwili \(t=0\) znajduje się on w punkcie \(\mathcal{O}\) oddalonym od szczytu o \(4\) km, a położenie \(x\) Syzyfa wtaczającego kulę jest opisane zależnością \[x(t)=-t^{3}+16,5 t^{2}+180 t\quad \text{dla}\quad t \in[0,24]\] gdzie \(x\) jest wyrażone w metrach, a \(t\)-w godzinach.
Oś \(\mathcal{O} x\) jest skierowana do wierzchołka góry i jest styczna w każdym punkcie do zbocza góry.

Cztery miasta \(A, B, C\) i \(D\) znajdują się w wierzchołkach kwadratu o boku 300 km. Pewna firma dostała zlecenie na zaprojektowanie sieci dróg, która będzie łączyć każde dwa z tych miast. Sieć ma posiadać dwa węzły, a łączna długość dróg w sieci ma być możliwie najmniejsza. (Przykład sieci dróg z dwoma węzłami, łączącej każde dwa z miast, przedstawiono na poniższym rysunku).

Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=\frac{2 x-3}{x+2}+4 \log _{\frac{1}{2}} x\) dla każdego \(x\gt 0\).

Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=x^{4}+0,5 \cdot(2 x+1)^{4}\) dla każdego \(x \in \mathbb{R}\).

W nieskończonym malejącym ciągu geometrycznym \(\left(a_{n}\right)\), określonym dla \(n \geq 1\), jest spełniony warunek \[ \frac{a_{5}+a_{3}}{a_{3}}=\frac{29}{25} \] Suma wszystkich wyrazów tego ciągu o numerach parzystych jest równa \(6\).

Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=x^{6}-2 x^{4}-x^{3}+1\) dla każdego \(x \in \mathbb{R}\).

Ciąg \(\left(a_{n}\right)\) jest określony wzorem \[ a_{n}=(n+5)^{2} \cdot\left(\frac{p+1}{(n+1)(n+2)}+\frac{2 p+2}{(n+2)(n+3)}\right) \] dla każdej liczby naturalnej \(n \geq 1\).

Rozpatrujemy wszystkie takie prostopadłościany, w których suma długości wszystkich krawędzi jest równa \(80\), pole powierzchni całkowitej jest równe \(256\) i długości wszystkich krawędzi są nie mniejsze niż \(4\).

Objętość \(V\) każdego z rozpatrywanych prostopadłościanów można wyrazić za pomocą funkcji \[ V(c)=c^{3}-20 c^{2}+128 c \] gdzie \(c \in\left[4, \frac{28}{3}\right]\) jest długością jednej \(z\) krawędzi bryły.

Na rysunku obok przedstawiono położenie miejscowości \(A, B\) i \(C\) oraz zaznaczono odległości między nimi. O godzinie 9:00 z miejscowości \(A\) do \(C\) wyruszył zastęp harcerzy „Tropiciele" i przemieszczał się z prędkością \(4 \mathrm{~km} / \mathrm{h}\). O tej samej godzinie z miejscowości \(B\) do \(A\) wyruszył zastęp harcerzy „Korsarze" i przemieszczał się z prędkością \(2 \mathrm{~km} / \mathrm{h}\).

Firma \(X\) wytwarza pewien produkt D. Badania rynku pokazały, że związek między ilością \(Q\) produktu \(D\), jaką firma jest w stanie zbyć na rynku, a ceną \(P\) produktu jest następujący: \[ P(Q)=90-0,1 Q \quad \text { dla } Q \in[0,900] \] Koszty \(K\) wytworzenia produktu D zależą od ilości \(Q\) wytwarzanego produktu następująco: \[ K(Q)=0,002 Q^{3}+Q^{2}+29,9985 Q+50 \] gdzie \(K\) jest kosztem produkcji w tys. zł.

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym \(A B C D E\) punkt \(O\) jest środkiem symetrii podstawy ostrosłupa. Stosunek obwodu podstawy \(A B C D\) do sumy długości wszystkich krawędzi ostrosłupa jest równy \(1: 5\). Przez przekątną \(A C\) podstawy i środek \(S\) krawędzi bocznej \(B E\) poprowadzono płaszczyznę. Wskazówka.
Skorzystaj z tablicy wartości funkcji trygonometrycznych (Wybrane wzory matematyczne, strona 34).

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) proste o równaniach \(2 x+y-4 m-4=0\) oraz \(x-3 y+5 m+5=0\) przecinają się w punkcie \(P\) o współrzędnych \(\left(x_{P}, y_{P}\right)\).

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) trapez \(A B C D\) jest wpisany w okrąg o środku w punkcie \(S=(19,-11)\) i promieniu \(17 \sqrt{2}\). Wierzchołek \(A\) trapezu ma obie współrzędne ujemne, a odcinek \(A B\) jest dłuższą z podstaw tego trapezu. Przekątna \(A C\) trapezu \(A B C D\) jest zawarta w prostej o równaniu \(y=x\).

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) czworokąt \(A B C D\) jest równoległobokiem takim, że \(\overrightarrow{B D}=[-21,-7]\) i \(\overrightarrow{D C}=[15,8]\).

Dany jest sześcian \(ABCDEFGH\) o krawędzi długości \(a\). Punkt \(P\) jest środkiem krawędzi \(C G\) tego sześcianu (zobacz rysunek poniżej). \[ |P G|=|P C| \]

Dany jest trapez prostokątny \(A B C D\) o kątach prostych przy wierzchołkach \(A\) i \(D\). Ramię \(B C\) trapezu ma długość \(5\) . W ten trapez wpisano okrąg o środku w punkcie \(S\) i promieniu \(2\). Punkt \(P\) jest punktem styczności tego okręgu i dłuższej podstawy \(A B\) tego trapezu (zobacz rysunek).

Tomek i Marek chcą wejść docelowo na szczyt \(S\) pewnej góry. W chwili początkowej znajdują się w punkcie \(P\) położonym na stoku góry dokładnie na północ od szczytu na wysokości \(H_{0}\) metrów n.p.m. Tomek i Marek chcą dotrzeć do bazy \(B\) znajdującej się dokładnie w połowie drogi na szczyt na południe od szczytu na przeciwległym południowym stoku góry na wysokości \(H_{1}\) metrów n.p.m., a następnie z bazy wejść na szczyt leżący na wysokości \(H_{2}\) metrów n.p.m. (zobacz rysunek 1.). Wskazówka: Powierzchnia boczna stożka po rozcięciu wzdłuż tworzącej i rozłożeniu jest wycinkiem koła. Najkrótsza droga do bazy odpowiada najkrótszej drodze z punktu \(P\) do \(B\) na wycinku koła.

Niech \(n\) będzie ustaloną liczbą naturalną dodatnią. Ze zbioru \(\mathbb{M}=\{1 ; 2 ; 3 ; \ldots ; 3 n+1\}\) losujemy jednocześnie trzy liczby. Zdarzenie \(A\) odpowiada jednoczesnemu wylosowaniu ze zbioru \(\mathbb{M}\) trzech liczb, których suma przy dzieleniu przez \(3\) daje resztę \(1\).

Pan Nowak często gra z synem w szachy. Obliczył, że \(40 \%\) rozegranych z synem partii wygrywa.

Pewna choroba dotyka \(0,2 \%\) całej populacji i w początkowym stadium nie daje widocznych objawów chorobowych. W ramach profilaktyki stosuje się pewien test przesiewowy, który daje wynik pozytywny lub negatywny. Prawdopodobieństwo tego, że test wykonany na osobie chorej da wynik pozytywny (oznaczający chorobę), jest równe \(0,99\). Ponadto wiadomo, że prawdopodobieństwo tego, że test wykonany na osobie zdrowej da wynik negatywny, jest równe \(0,98\).
Pan X poddał się testowi, który dał wynik pozytywny. Pozytywny wynik oznacza podejrzenie choroby.

W pewnym mieście jest prostopadły układ ulic, a ruch na każdej z nich jest dwukierunkowy. W centrum miasta znajduje się park, gdzie obowiązuje całkowity zakaz ruchu pojazdów. Schemat ulic w tym mieście wraz z położeniem parku przedstawiono poniżej na rysunku. Tomek znajduje się w punkcie \(A\) miasta i chce dojechać samochodem najkrótszą drogą do punktu \(B\).