Wzór de Moivre'a - potęgowanie liczb zespolonych

Drukuj

Poziom studiów

Liczby zespolone \(z, w \in \mathbb{C}\), z argumentami odpowiednio: \(\alpha \) i \(\beta \), Możemy zapisać w postaci trygonometrycznej:

Obliczymy teraz iloczyn tych liczb zapisanych w postaci trygonometrycznej:

Ostatnia równość wynika ze wzorów trygonometrycznych na cosinus sumy kątów oraz na sinus sumy kątów.
Powyższy rachunek pokazuje, że przy mnożeniu dwóch liczb zespolonych \(z, w \in \mathbb{C}\) otrzymujemy liczbę zespoloną, której:

moduł jest iloczynem modułów liczb \(z\) oraz \(w\),
argument jest sumą argumentów liczb \(z\) oraz \(w\).

Wynika stąd następujący wzór:

Wzór de Moivre'a

Dla dowolnej liczby \(z\in \mathbb{C} \) zachodzi następujący wzór:

Przy pomocy tego wzoru można szybko podnosić liczby zespolone do dowolnie dużych potęg.

Dana jest liczba \(z=1-i\). Oblicz \(z^{100}\).

Zacznijmy od zapisania liczby zespolonej \(z=1-i\) w postaci trygonometrycznej.
Zaznaczmy ją w układzie współrzędnych:

Obliczamy moduł: \[|z|=\sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt{2}\] Obliczamy argument:

Kąt \(\varphi\) leży w IV ćwiartce układu współrzędnych, zatem:

Argument można było również odczytać z układu współrzędnych. Widać, że \(\varphi = 3 \cdot 90^\circ + 45^\circ = 315^\circ\).

Zapiszmy teraz liczbę \(z=1-i\) w postaci trygonometrycznej:

Korzystając ze wzoru de Moivre'a liczymy, że:

Dana jest liczba \(z = -1+\sqrt{3}i\). Oblicz \(z^{67}\).

Zaznaczamy liczbę \(z = -1+\sqrt{3}i\) w układzie współrzędnych:

Teraz obliczamy moduł: \[|z|=\sqrt{(-1)^2+(\sqrt{3})^2}=\sqrt{4}=2\] Obliczamy argument:

Kąt \(\varphi\) leży w II ćwiartce układu współrzędnych, zatem:

Argument można było również odczytać z układu współrzędnych. Widać, że \(\varphi = 90^\circ + 30^\circ = 120^\circ\).

Zapiszmy teraz liczbę \(z = -1+\sqrt{3}i\) w postaci trygonometrycznej:

Stosując wzór de Moivre'a obliczamy, że: