Układy równań liniowych

• Wyznaczmy niewiadomą \(z\) z drugiego równania: \[ \begin{aligned} & x+y+z=3 \\ & z=3-x-y \end{aligned} \]
• Podstawmy \(z=3-x-y\) do pierwszego i trzeciego równania:
  Pierwsze równanie: \[ \begin{gathered} 3 x+2 y-2(3-x-y)=3 \\ 3 x+2 y-6+2 x+2 y=3 \\ 5 x+4 y=9 \end{gathered} \] Trzecie równanie: \[ \begin{gathered} 2 x+2 y+(3-x-y)=5 \\ 2 x+2 y+3-x-y=5 \\ x+y=2 \end{gathered} \] Teraz mamy do rozwiązania układ równań z dwiema niewiadomymi: \[ \left\{\begin{array}{l} 5 x+4 y=9 \\ x+y=2 \end{array}\right. \]
• Wyznaczmy \(y\) z równania \(x+y=2\) : \[ y=2-x \]
• Podstawmy \(y=2-x\) do równania \(5 x+4 y=9\) : \[ \begin{gathered} 5 x+4(2-x)=9 \\ 5 x+8-4 x=9 \\ x=1 \end{gathered} \]
• Obliczmy \(y\) : \[ y=2-x=2-1=1 \]
• Obliczmy \(z\) korzystając ze wzoru wyprowadzonego w kroku 2): \(z=3-x-y\): \[ z=3-1-1=1 \]

Ostateczne rozwiązanie: \[ x=1, \quad y=1, \quad z=1 \]

• Reprezentujemy układ równań \[ \left\{\begin{array}{l} 3 x+2 y-2 z=3 \\ x+y+z=3 \\ 2 x+2 y+z=5 \end{array}\right. \] jako macierz rozszerzoną: \[ \left[\begin{array}{ccc|c} 3 & 2 & -2 & 3 \\ 1 & 1 & 1 & 3 \\ 2 & 2 & 1 & 5 \end{array}\right] \] Teraz doprowadzimy macierz do postaci schodkowej uporządkowanej.
• Używamy pierwszego wiersza, aby wyzerować elementy poniżej pierwszego elementu w pierwszej kolumnie. W tym celu wykonujemy takie operacje: \[ \text { Drugi wiersz }=\text { Drugi wiersz }-\frac{1}{3} \cdot \text { Pierwszy wiersz } \] \[ \text { Trzeci wiersz }=\text { Trzeci wiersz }-\frac{2}{3} \cdot \text { Pierwszy wiersz } \] otrzymując macierz: \[ \left[\begin{array}{ccc|c} 3 & 2 & -2 & 3 \\ 0 & \frac{1}{3} & \frac{5}{3} & 2 \\ 0 & \frac{2}{3} & \frac{7}{3} & 3 \end{array}\right] \] Teraz mnożymy pierwszy wiersz przez \(\frac{1}{3}\), żeby na pierwszym miejscu otrzymać \(1\): \[ \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & \frac{2}{3} & -\frac{2}{3} & 1 \\ 0 & \frac{1}{3} & \frac{5}{3} & 2 \\ 0 & \frac{2}{3} & \frac{7}{3} & 3 \end{array}\right] \]
• Teraz używamy drugiego wiersza, aby wyzerować elementy poniżej i powyżej drugiego elementu w drugiej kolumnie. W tym celu wykonujemy takie operacje: \[ \text { Pierwszy wiersz }=\text { Pierwszy wiersz }-2 \cdot \text { Drugi wiersz } \] \[ \text { Trzeci wiersz }=\text { Trzeci wiersz }-2 \cdot \text { Drugi wiersz } \] otrzymując macierz: \[ \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & -4 & -3 \\ 0 & \frac{1}{3} & \frac{5}{3} & 2 \\ 0 & 0 & -1 & -1 \end{array}\right] \] Teraz mnożymy drugi wiersz przez \(3\), żeby na drugim miejscu otrzymać \(1\): \[ \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & -4 & -3 \\ 0 & 1 & 5 & 6 \\ 0 & 0 & -1 & -1 \end{array}\right] \]
• Teraz używamy trzeciego wiersza, aby wyzerować elementy powyżej trzeciego elementu w trzeciej kolumnie. W tym celu wykonujemy takie operacje: \[ \text { Pierwszy wiersz }=\text { Pierwszy wiersz }-4 \cdot \text { Trzeci wiersz } \] \[ \text { Drugi wiersz }=\text { Drugi wiersz }+5 \cdot \text { Trzeci wiersz } \] otrzymując macierz: \[ \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & -1 \end{array}\right] \] Teraz mnożymy trzeci wiersz przez \((-1)\), żeby na trzecim miejscu otrzymać \(1\): \[ \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}\right] \]

W ten sposób doprowadziliśmy macierz rozszerzoną do postaci schodkowej uporządkowanej, z której odczytujemy rozwiązanie: \[\begin{cases} x=1 \\ y=1 \\ z=1 \end{cases} \]