Równanie oznaczone, tożsamościowe i sprzeczne

Rozwiązujemy równanie: \[\begin{split} 3x+1&=-3x-2\\[6pt] 3x+3x&=-2-1\\[6pt] 6x&=-3\\[6pt] x&=-\frac{1}{2} \end{split}\] Równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie: \(x=-\frac{1}{2}\), zatem jest to równanie oznaczone.

Rozwiązujemy równanie: \[\begin{split} 2\cdot (5x-3)+3&=3\cdot (2x-1)+4x\\[6pt] 10x-6+3&=6x-3+4x\\[6pt] 10x-3&=10x-3\\[6pt] \end{split}\] Lewa strona równania jest równa prawej, zatem mamy równanie nieoznaczone (tożsamościowe).
Równie tego typu ma nieskończenie wiele rozwiązań, ponieważ dowolna liczba podstawiona pod \(x\) da równanie prawdziwe.
Przykładowo dla \(x=7\) mamy: \[\begin{split} 10\cdot 7-3&=10\cdot 7-3\\[6pt] 70-3&=70-3\\[6pt] 67&=67 \end{split}\] Tak samo np dla \(x=2\) mamy: \[\begin{split} 10\cdot 2-3&=10\cdot 7-3\\[6pt] 20-3&=20-3\\[6pt] 17&=17 \end{split}\] Równanie tożsamościowe zawsze można doprowadzić do postaci \(0=0\). W tym przykładzie również: \[\begin{split} 10x-3&=10x-3\\[6pt] 10x&=10x\\[6pt] 0&=0\\[6pt] \end{split}\]

\[ \begin{aligned} x-\sqrt{2}+1&=1-\sqrt{2}+x \\[6pt] x-x&=1-\sqrt{2}+\sqrt{2}-1 \\[6pt] 0&=0 \end{aligned} \] Otrzymaliśmy równanie \(0=0\), które jest spełnione dla dowolnej liczby rzeczywistej \(x\).
Zatem równanie jest tożsamościowe i ma nieskończenie wiele rozwiązań.
Zbiorem rozwiązań tego równania jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych \(\boldsymbol{R}\).

\[ \begin{aligned} \sqrt{9 \cdot 2}\cdot x+5&=3(x \sqrt{2}+4)-7 \\[6pt] 3\sqrt{2}\cdot x+5&=3\sqrt{2}\cdot x+12-7 \\[6pt] 3\sqrt{2}\cdot x-3 \sqrt{2}\cdot x&=5-5 \\[6pt] 0&=0 \end{aligned} \] Otrzymaliśmy równanie \(0=0\), które jest tożsamościowe i ma nieskończenie wiele rozwiązań.
Rozwiązaniem równania jest \(x\in \boldsymbol{R}\).

Rozwiązujemy równanie: \[\begin{split} 7x-2&=7x+3\\[6pt] 7x-7x&=3+2\\[6pt] 0&=5 \end{split}\] Otrzymaliśmy równanie sprzeczne.