Poziom podstawowy
Definicja
Liczby \(x\) i \(y\) są odwrotnie proporcjonalne wtedy i tylko wtedy gdy: \[x\cdot y=a\] gdzie \(a\gt0\). Zależność odwrotnie proporcjonalną można też zapisać w postaci: \[y=\frac{a}{x}\]
Definicja
Proporcjonalnością odwrotną nazywamy funkcję \(f\) określoną dla \(x\gt0\) i daną wzorem: \[f(x)=\frac{a}{x}\] gdzie \(a\gt0\). Dla \(a=1\) wartości odwrotnie proporcjonalne maję tę własność, że jeśli jedna wielkość maleje, to druga tyle samo razy rośnie.
Prędkość i czas podróży są wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi. Przykładowo:
- Jeżeli prędkość zwiększymy \(2\) razy, to czas podróży skróci się \(2\) razy.
- Jeżeli prędkość zmniejszymy \(5\) razy, to czas podróży wydłuży się \(5\) razy.
Adam drogę do szkoły pokonuje w \( 30 \) minut idąc z prędkością \( 5\frac{\text{km}}{\text{h}}\). Ile czasu zajęłoby mu pokonanie tej samej drogi gdyby jechał na rowerze z prędkością \( 15\frac{\text{km}}{\text{h}}\)?
Na początku liczymy ile razy wzrosłaby prędkość, gdyby Adam jechał na rowerze: \[15:5=3\] Widzimy, że na rowerze prędkość jest 3 razy większa, zatem czas podróży skróci się 3 razy: \[30 : 3 = 10[\text{min}]\] Zatem na rowerze Adam przejechałby tą trasę w \( 10 \) minut.
Zauważmy, że jeżeli dwie wartości są odwrotnie proporcjonalne, to ich iloczyn jest stały. Nawiązując do poprzedniego przykładu wprowadźmy oznaczenia:
\(v\) - prędkość
\(t\) - czas
Przy takich oznaczeniach możemy zapisać zależność: \[v\cdot t = \text{liczba stała}\] Tą \( \text{liczbą stałą} \) jest oczywiście \( \text{droga} \) (która się nie zmienia) i którą często oznaczamy literą \( S \). Stosując te oznaczenia możemy zapisać znany wzór z fizyki: \[v\cdot t=S\] Korzystając z tego faktu możemy rozwiązać poprzedni przykład w inny sposób.
Adam drogę do szkoły pokonuje w \( 30 \) minut idąc z prędkością \( 5\frac{\text{km}}{\text{h}}\). Ile czasu zajęłoby mu pokonanie tej samej drogi gdyby jechał na rowerze z prędkością \( 15\frac{\text{km}}{\text{h}}\)?
Wprowadźmy oznaczenia:
\( {t}_{1} = 30\ \text{[min]} \) - czas marszu
\( {v}_{1} = 5\left [ \frac{\text{km}}{\text{h}} \right ] \) - prędkość marszu
\( {t}_{2} = \ ? \) - czas jazdy na rowerze (tego szukamy)
\( {v}_{2} = 15\left [ \frac{\text{km}}{\text{h}} \right ] \) - prędkość jazdy na rowerze
Ponieważ: \[v_1\cdot {t}_{1}=S\] oraz: \[v_2\cdot {t}_{2}=S\] zatem: \[\begin{split} v_1\cdot {t}_{1}&=v_2\cdot {t}_{2}\\[6pt] 5 \cdot 30&=15\cdot {t}_{2}\quad \quad \quad //:15\\[6pt] 5\cdot 2&={t}_{2}\\{t}_{2}&=10\ \left [ \text{min} \right ] \end{split}\]
Trasę z miasta \( A \) do miasta \( B \) samochód pokonuje w \( 4 \) godziny, jeżeli jedzie z prędkością \( 100\frac{\text{km}}{\text{h}}\). Z jaką prędkością musiałby jechać, żeby pokonać tą samą trasę w \( 2{,}5 \) godziny?
Korzystając z metody omówionej w przykładzie 2 możemy oznaczyć:
\( x \) - szukana prędkość
i od razu zapisać równanie: \[\begin{split}100\cdot 4&=x\cdot 2{,}5\\\quad \quad \quad \quad \quad 400&=2{,}5x\quad \quad \quad //:2{,}5\\x&=160\left [ \frac{\text{km}}{\text{h}} \right ]\end{split}\]
Odpowiedź: Aby pokonać trasę w \( 2{,}5 \) godziny, samochód powinien jechać z prędkością \( 160\frac{\text{km}}{\text{h}}\).
Aby wykonać pewną pracę w ciągu \(10\) godzin, potrzeba \(2\) pracowników. Ilu pracowników potrzeba, aby wykonać tą samą pracę w ciągu \(4\) godzin?
Zauważmy, że im więcej pracowników wykonuje daną pracę, tym mniejszą liczbę godzin zajmie im jej wykonanie. Zatem liczba pracowników i liczba godzin są wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi. Wprowadźmy oznaczenia:
\( x \) - szukana liczba pracowników
Zapiszmy równanie wynikające z odwrotnej proporcjonalności: \[\begin{split}10\cdot 2&=4\cdot x\\20&=4x\\4x&=20\\x&=5\end{split}\]
Odpowiedź: Aby wykonać tę pracę w ciągu 4 godzin należy zatrudnić 5 pracowników.