Odległość punktu od prostej

Drukuj

Poziom podstawowy

Twierdzenie

Odległość punktu \(P = (x_0,y_0)\) od prostej \(k\) danej równaniem ogólnym: \[Ax+By+C=0\] wyraża się wzorem: \[d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}\]

Oblicz odległość punktu \(A = (3,4)\) od prostej \(k\) o równaniu: \(y=2x-5\).

Zaczynamy od przekształcenia równania prostej \(k\) do postaci ogólnej: \[ y=2x-5\\[6pt] -2x+y+5=0 \] Teraz możemy skorzystać ze wzoru: \[\begin{split} d_{A, k}&=\frac{|-2\cdot3+1\cdot4+5|}{\sqrt{(-2)^2+1^2}}=\\[6pt] &=\frac{|-6+9|}{\sqrt{5}}=\frac{3}{\sqrt{5}}=\frac{3\sqrt{5}}{5} \end{split}\]

Oblicz odległość między prostymi \(k: y=-\frac{1}{2}x+4\ \) i \(\ l: x+2y-2=0\).

\(\frac{6\sqrt{5}}{5}\)

Napisz równania wszystkich prostych, które są jednocześnie styczne do paraboli o równaniu \(y=\frac{1}{4}x^2-1\) i do okręgu o równaniu \(x^2+(y+6)^2=8\).

\(y=x-2, y=-x-2, y=\sqrt{17}x-18,y=-\sqrt{17}x-18\)