Wspólna wielokrotność liczb naturalnych \(n\) i \(m\) - to każda liczba naturalna, która dzieli się bez reszty przez \(n\) oraz przez \(m\).
Wyznacz wspólną wielokrotność liczb \(2\) i \(3\).
Szukamy liczby, którą można podzielić bez reszty przez \(2\) oraz przez \(3\). Dobrą liczbą jest np. liczba \(6\), ale również \(12\), \(18\), \(60\), \(300\) i wiele innych.
Wyznacz wspólną wielokrotność liczb \(5\) i \(10\).
Szukamy liczby, którą można podzielić bez reszty przez \(5\) oraz przez \(10\). Dobrymi liczbami są np.: \(10\), \(20\), \(30\), \(100\).
Definicja
Najmniejsza wspólna wielokrotność (NWW) liczb naturalnych \(n\) i \(m\) - to najmniejsza liczba różna od zera, która jest jednocześnie wielokrotnością liczby \(n\) i liczby \(m\).
Najmniejsza wspólna wielokrotność liczb \(2\) i \(3\) to: \[\operatorname{NWW}(2, 3)=6\]
Najmniejsza wspólna wielokrotność liczb \(5\) i \(10\) to: \[\operatorname{NWW}(5, 10)=10\]
Wyznacz NWW liczb \(6\) i \(8\).
Wielokrotności liczby \(6\), to: \[6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48,...\] Wielokrotności liczby \(8\), to: \[8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64,...\] Zatem najmniejszą wspólną wielokrotnością liczb \(6\) i \(8\) jest liczba \(24\). Zapisujemy to w taki sposób: \[\operatorname{NWW}(6, 8) = 24\]
W przypadku małych liczb, najmniejszą wspólną wielokrotność można znaleźć wypisując wielokrotności podanych liczb. Dla dużych liczb znajdowanie NWW tą metodą byłoby bardzo czasochłonne. W takim przypadku należy skorzystać z poniższego algorytmu.
Dla każdego czynnika pierwszego sprawdzamy w którym rozkładzie wystąpił większą liczbę razy i wypisujemy go taką liczbę razy
Wymnażamy wszystkie wypisane liczby, otrzymując w rezultacie szukaną NWW.
Wyznacz najmniejszą wspólną wielokrotność liczb \(54\) i \(76\).
Rozkładamy obie liczby na iloczyn czynników pierwszych: \[ 54 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3\\[6pt] 76 = 2 \cdot 2 \cdot 19 \] Teraz patrzymy ile razy wystąpiły poszczególne liczby pierwsze w każdym z rozkładów:
Liczba \(2\) wystąpiła raz w I rozkładzie i dwa razy w II rozkładzie. Zatem wypisujemy ją dwa razy.
Liczba \(3\) wystąpiła trzy w I rozkładzie i ani razu w II rozkładzie. Zatem wypisujemy ją trzy razy.
Liczba \(19\) nie wystąpiła w I rozkładzie i wystąpiła raz w II rozkładzie. Zatem wypisujemy ją jeden raz.
Zatem nasze wypisane kolejno liczby, to: \[2, 2, 3, 3, 3, 19.\] Czyli NWW obliczmy licząc ich iloczyn: \[\operatorname{NWW}(54, 76) = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 19 = 2052\]
Program do obliczania NWW
Liczba 1 = Liczba 2 =
W tym filmiku pokazuję metodę obliczania NWD i NWW na pięciu przykładach.
Czas nagrania: 15 min.
Liczba \(x\) jest najmniejszą liczbą dodatnią podzielną przez \(3\) i \(4\), a liczba \(y\) jest największą liczbą dwucyfrową podzielną przez \(2\) i \(9\). Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Najmniejsza wspólna wielokrotność liczb \(x\) i \(y\) jest równa