Poziom studiów
Definicja
Przyjmijmy, że mamy daną liczbę zespoloną \(z=a+bi\).
Wówczas liczbę \(\sqrt{a^2+b^2}\) nazywamy modułem liczby \(z\) i oznaczamy symbolem \(|z|\). Czyli: \[|z|=\sqrt{a^2+b^2}\] Oblicz moduł liczby zespolonej \(z=3+4i\).
\[|z|=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5\]
Oblicz moduł liczby zespolonej \(z=2+5i\).
\[|z|=\sqrt{2^2+5^2}=\sqrt{4+25}=\sqrt{29}\]
Oblicz moduł liczby zespolonej \(z=1-3i\).
\[|z|=\sqrt{1^2+(-3)^2}=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}\]
Oblicz moduł liczby zespolonej \(z=10i\).
Dla tej liczby zespolonej cześć rzeczywista jest równa \(0\), zatem zapiszemy: \[|z|=\sqrt{0^2+(10)^2}=\sqrt{100}=10\]
Oblicz moduł liczby zespolonej \(z=2i^2-3i+1\).
Najpierw musimy uprościć liczbę zespoloną: \[ \begin{split} z&=2i^2-3i+1=\\[6pt] &=2\cdot (-1)-3i+1=\\[6pt] &=-2-3i+1=\\[6pt] &=-1-3i=\\[6pt] \end{split} \] Teraz możemy obliczyć moduł: \[|z|=\sqrt{(-1)^2+(-3)^2}=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}\]
Własności modułu
Dla dowolnych \(z, z_1, z_2 \in \mathbb{C} \) mamy:
- \(z\cdot \overline{z}=|z|^2 \)
- \(|z_1\cdot z_2|=|z_1|\cdot |z_2|\)
- \(|z_1+ z_2|\le |z_1| + |z_2|\)