Kąty można mierzyć w stopniach (miara stopniowa) albo radianach (miara łukowa).
Miarę stopniową wykorzystujemy najczęściej do mierzenia kątów w geometrii. We wszystkich pozostałych sytuacjach wygodniejsza zazwyczaj jest miara łukowa.
Cechy
miary stopniowej:
- Jednostką podstawową jest \(1^\circ \).
- Kąt pełny ma \(360^\circ \).
- Jeden stopień to 60 minut, a jedna minuta to 60 sekund ( \(1^\circ =60'=3600''\) ).
Cechy
miary łukowej:
- Jednostką podstawową jest \(1 \text{ radian}\).
- Kąt pełny ma \(2\pi \text{ radianów}\).
Teraz wyjaśnię dokładniej co to jest miara łukowa kąta.
Narysujmy okrąg o dowolnym promieniu \(r\) i zaznaczmy w nim kąt środkowy \(\alpha \).
Kąt \(\alpha \) wycina w okręgu łuk o długości \(l\).
![](grafika/g0057.png)
Przy takich oznaczeniach możemy sformułować następującą definicję:
Definicja
Miarą łukową kąta α nazywamy stosunek długości łuku \(l\) do długości promienia \(r\). Zauważmy, że miara łukowa kąta nie zależy od długości promienia, ponieważ długość łuku jest proporcjonalna do długości promienia.
![](grafika/g0058.png)
Na powyższym rysunku mniejszy okrąg ma promień długości \(|AB|\), a większy \(|AC|\). Stosunek długości łuku do długości promienia dla obu okręgów jest taki sam: \[\frac{l}{|AB|}=\frac{L}{|AC|}\]
Z powyższej zależności wynika następujący wniosek:
Dla okręgu o promieniu \(r=1\) miara łukowa kąta jest równa długości wyznaczonego łuku
Narysujmy okrąg jednostkowy (czyli taki, który ma promień długości \(1\)) i zaznaczmy w nim dowolny kąt \(\alpha \).
![](grafika/g0059.png)
Kąt \(\alpha \) wyznaczył łuk \(l\), o długości \(0{,}83\). Zatem miara kąta \(\alpha \) to: \[\alpha = 0{,}83 \text{ rad}\]
Definicja
Jednostką miary łukowej jest radian (w skrócie piszemy: rad). Ile radianów ma kąt prosty?
Rysujemy okrąg o promieniu \(r = 1\) i zaznaczamy w jego środku kąt prosty:
![](grafika/g0060.png)
Długość łuku \(l\) jest równa \(\frac{1}{4}\) obwodu koła, zatem: \[l=\frac{1}{4}\cdot 2\pi r=\frac{1}{4}\cdot 2\pi \cdot 1=\frac{1}{4}\cdot 2\pi =\frac{1}{2}\pi \] Czyli: \[\alpha =\frac{1}{2}\pi \text{ rad}\] Oczywiście \(\frac{1}{2}\pi =\frac{\pi }{2}\), zatem prościej możemy zapisać: \[\alpha =\frac{\pi }{2} \text{ rad}\]
>Ile radianów ma kąt półpełny?
Rysujemy okrąg o promieniu \(r = 1\) i zaznaczamy w jego środku kąt półpełny:
![](grafika/g0061.png)
Długość łuku \(l\) jest równa połowie obwodu koła, zatem: \[l=\frac{1}{2}\cdot 2\pi r=\frac{1}{2}\cdot 2\pi \cdot 1=\frac{1}{2}\cdot 2\pi =\pi \] Czyli: \[\alpha =\pi \text{ rad}\]
Ile radianów ma kąt pełny?
Rysujemy okrąg o promieniu \(r = 1\) i zaznaczamy w jego środku kąt pełny:
![](grafika/g0062.png)
Długość łuku \(l\) jest równa całemu obwodowi koła, zatem: \[l=2\pi r=2\pi \cdot 1=2\pi \] Czyli: \[\alpha =2\pi \text{ rad}\]
Z powyższych przykładów warto zapamiętać, że: \[\begin{split} &90^\circ =\frac{\pi }{2} \text{ rad}\\[3pt]&180^\circ =\pi \text{ rad}\\[3pt]&360^\circ =2\pi \text{ rad}\\[3pt] \end{split}\]
Tak naprawdę wystarczy zapamiętać tylko jedną z powyższych zależności, żeby szybko wyprowadzić sobie inną.
Pamiętając, że \(90^\circ =\frac{\pi }{2}\) możemy wyliczyć, że: \[360^\circ = 4\cdot 90^\circ = 4\cdot \frac{\pi }{2}=2\pi \]
Uwaga! Zauważ, że w ostatnim przykładzie nie dopisałem do miary łukowej kąta słówka "rad". Jest to dosyć częsta praktyka, ponieważ znacznie skraca zapis, a i tak wiadomo, że chodzi o radiany.