Poziom rozszerzony
Cały kurs na:
http://www.matemaks.pl/matematyka-matura-rozszerzona-kurs.html.
Dane jest równanie kwadratowe \(x^2+kx+2k-3=0\), gdzie \(k\in \mathbb{R} \). Dla jakich wartości parametru \(k\) to równanie ma dwa różne pierwiastki ujemne?
\(k\in \left (\frac{3}{2}; 2\right )\cup (6;+\infty )\)
Równanie kwadratowe \(5x^2+4x-3=0\) ma dwa rozwiązania rzeczywiste: \(x_1\) oraz \(x_2\). Wartość wyrażenia \(\frac{x_1x_2}{x_1+x_2}\) jest równa
A.\( -\frac{4}{5} \)
B.\( \frac{3}{4} \)
C.\( -\frac{5}{3} \)
D.\( \frac{5}{4} \)
B
Równanie kwadratowe \(ax^2+bx+c=0\), gdzie \(c\ne 0\), ma dwa różne pierwiastki, których suma jest równa ich podwojonemu iloczynowi. Wynika stąd, że
A.\( b=2c \)
B.\( c=2b \)
C.\( b=-2c \)
D.\( 2b=-c \)
C
Dany jest trójmian kwadratowy \(f(x)=x^2+2(m+1)x+6m+1\). Wyznacz wszystkie rzeczywiste wartości parametru \(m\), dla których ten trójmian ma dwa różne pierwiastki \(x_1\), \(x_2\) tego samego znaku, spełniające warunek \(|x_1-x_2|\lt 3\).
\(m\in \left ( -\frac{1}{6}; 0 \right )\cup \left (4;\frac{9}{2} \right )\)
Oblicz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których równanie \(x^2 - (m + 2)x + m + 4 = 0\) ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste \(x_1\), \(x_2\) takie, że \({x_1}^4 + {x_2}^4 = 4m^3 + 6m^2 - 32m + 12\).
\(x=-\sqrt{14}\) lub \(x=\sqrt{14}\)
Wykaż, że dla dowolnej wartości parametru \(m\) równanie: \(-x^2+(2m^2+3)x-m^4-1=0\) ma dwa różne pierwiastki dodatnie.
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których równanie \(x^2 + 2(1 - m)x + m^2 - m = 0\) ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste \(x_1\), \(x_2\) spełniające warunek \(x_1 \cdot x_2 \le 6m \le x_1^2 + x_2^2\) .
\(m\in \langle 0;\ 3-\sqrt{7} \rangle \)