Poziom rozszerzony
Cały kurs na:
http://www.matemaks.pl/matematyka-matura-rozszerzona-kurs.html.
W tym nagraniu wideo omawiam najbardziej praktyczne metody rozwiązywania zadań z kombinatoryki oraz klasycznego rachunku prawdopodobieństwa.
Czas nagrania: 64 min.
Oblicz, ile jest trzycyfrowych liczb całkowitych dodatnich, w których zapisie dziesiętnym występują dokładnie dwie różne cyfry.
\(9\cdot 9\cdot 3=243\)
Rozpatrujemy wszystkie liczby naturalne dziesięciocyfrowe, w zapisie których mogą występować wyłącznie cyfry \(1\), \(2\), \(3\), przy czym cyfra \(1\) występuje dokładnie trzy razy. Uzasadnij, że takich liczb jest \(15360\).
Cztery kule ponumerowano kolejnymi liczbami od \(1\) do \(4\). Ustawiamy te kule losowo w szereg i zapisujemy liczbę, której kolejnymi cyframi są numery na kulach. Prawdopodobieństwo, że zapisana liczba nie jest podzielna przez \(4\), jest równe
A.\( \frac{6}{4^4} \)
B.\( \frac{18}{4^4} \)
C.\( \frac{6}{4!} \)
D.\( \frac{18}{4!} \)
D
Na wspólnym zebraniu klas IIIA i IIIB postanowiono wylosować dwie osoby, które będą kierowały przygotowaniami do studniówki. Każda z tych dwóch klas liczy \(20\) osób; w IIIA jest \(6\) dziewcząt, w klasie IIIB jest dziewcząt \(12\). Jakie jest prawdopodobieństwo, że obie wylosowane osoby są dziewczętami, jeśli obie pochodzą z tej samej klasy?
\(\frac{81}{380}\)
Doświadczenie losowe polega na dwóch rzutach symetryczną sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo, że wartość bezwzględna różnicy wyrzuconych liczb będzie większa od \(2\), jeżeli wiadomo, że suma kwadratów tych liczb przy dzieleniu przez \(4\) daje resztę \(1\).
\(\frac{4}{9}\)
W pierwszej urnie umieszczono \(3\) kule białe i \(5\) kul czarnych, a w drugiej urnie \(7\) kul białych i \(2\) kule czarne. Losujemy jedną kulę z pierwszej urny, przekładamy ją do urny drugiej i dodatkowo dokładamy do urny drugiej jeszcze dwie kule tego samego koloru, co wylosowana kula. Następnie losujemy dwie kule z urny drugiej. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że obie kule wylosowane z drugiej urny będą białe.
\(\frac{5}{11}\)
Wśród \(10\) tysięcy mieszkańców pewnego miasta przeprowadzono sondaż dotyczący budowy przedszkola publicznego. Wyniki sondażu przedstawiono w tabeli.
| Badane grupy | Liczba osób popierających budowę przedszkola | Liczba osób niepopierających budowy przedszkola |
| Kobiety | 5140 | 1860 |
| Mężczyźni | 2260 | 740 |
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że losowo wybrana osoba, spośród ankietowanych, popiera budowę przedszkola, jeśli wiadomo, że jest mężczyzną. Zakoduj trzy pierwsze cyfry po przecinku nieskończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.
\(p=0{,}7533333...\)
Doświadczenie losowe polega na tym, że losujemy jednocześnie trzy liczby ze zbioru \(\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\). Oblicz prawdopodobieństwo warunkowe, że wśród wylosowanych liczb będzie liczba \(4\), pod warunkiem, że suma wylosowanych liczb będzie parzysta. Wynik przedstaw w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego.
\(\frac{13}{44}\)
Liczby \(x\), \(y\), \(z\) należą do zbioru \(\{1,2,3,...,100\}\). Liczba uporządkowanych trójek liczb \((x, y, z)\) spełniających warunek: liczba \(x^2+y^2+z^2\) jest podzielna przez \(3\), jest równa
A.\( \binom{33}{3}+\binom{67}{3} \)
B.\( \binom{33}{3}+\binom{33}{3}+\binom{33}{4} \)
C.\( 33^3+67^3 \)
D.\( 33^3+33^3+67^3 \)
C
Zbiór \(A=\{1,2,3,...,2n-1,2n\}\), gdzie \(n\ge 4\), jest złożony z \(2n\) kolejnych liczb naturalnych. Rozpatrujemy wszystkie czteroelementowe podzbiory zbioru \(A\). Przez \(x\) oznaczmy liczbę podzbiorów, których suma wszystkich elementów jest parzysta, a przez \(y\) oznaczmy liczbę podzbiorów, których suma wszystkich elementów jest nieparzysta. Wykaż, że \(x-y=\binom{n}{2} \).